Grundlegende Mathematik Beispiele

$93000 = 3200 ((\frac{{(1 + 0.04)}^{n + 1} - 1}{0.04}) - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3200 (\frac{{(1 + 0.04)}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$ um.

$3200 (\frac{{(1 + 0.04)}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$

Schritt 2

Addiere $1$ und $0.04$ .

$3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$ durch $3200$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$ durch $3200$ .

$\frac{3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1)}{3200} = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3200$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1)}{3200} = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1$ durch $1$ .

$\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1 \cdot {1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $- 1$ als $1 (- 1)$ um.

$\frac{1 \cdot {1.04}^{n + 1} + 1 (- 1)}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $1$ aus $1 \cdot {1.04}^{n + 1} + 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{1 \cdot ({1.04}^{n + 1} - 1)}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04$ heraus.

$\frac{1 \cdot ({1.04}^{n + 1} - 1)}{0.04 (1)} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.5

Separiere Brüche.

$\frac{1}{0.04} \cdot \frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.6

Dividiere $1$ durch $0.04$ .

$25 \frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.7

Dividiere ${1.04}^{n + 1} - 1$ durch $1$ .

$25 ({1.04}^{n + 1} - 1) - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} + 25 \cdot - 1 - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.2.9

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 25 - 1 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 25$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{93000}{3200}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $93000$ und $3200$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $200$ aus $93000$ heraus.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{200 (465)}{3200}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $200$ aus $3200$ heraus.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{200 \cdot 465}{200 \cdot 16}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{200 \cdot 465}{200 \cdot 16}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{465}{16}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $26$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465}{16} + 26$

Schritt 4.2

Um $26$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465}{16} + 26 \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 4.3

Kombiniere $26$ und $\frac{16}{16}$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465}{16} + \frac{26 \cdot 16}{16}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465 + 26 \cdot 16}{16}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $26$ mit $16$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465 + 416}{16}$

Schritt 4.5.2

Addiere $465$ und $416$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16}$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16}$ durch $25$ .

$\frac{25 \cdot {1.04}^{n + 1}}{25} = \frac{\frac{881}{16}}{25}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot {1.04}^{n + 1}}{25} = \frac{\frac{881}{16}}{25}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere ${1.04}^{n + 1}$ durch $1$ .

${1.04}^{n + 1} = \frac{\frac{881}{16}}{25}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16} \cdot \frac{1}{25}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{881}{16} \cdot \frac{1}{25}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{881}{16}$ mit $\frac{1}{25}$ .

${1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16 \cdot 25}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $25$ .

${1.04}^{n + 1} = \frac{881}{400}$

Schritt 6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.04}^{n + 1}) = \ln (\frac{881}{400})$

Schritt 7

Zerlege $\ln ({1.04}^{n + 1})$ durch Herausziehen von $n + 1$ aus dem Logarithmus.

$(n + 1) \ln (1.04) = \ln (\frac{881}{400})$

Schritt 8

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1

Vereinfache $(n + 1) \ln (1.04)$ .

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n \ln (1.04) + 1 \ln (1.04) = \ln (\frac{881}{400})$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\ln (1.04)$ mit $1$ .

$n \ln (1.04) + \ln (1.04) = \ln (\frac{881}{400})$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$n \ln (1.04) + \ln (1.04) - \ln (\frac{881}{400}) = 0$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1.04}{\frac{881}{400}}) = 0$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$n \ln (1.04) + \ln (1.04 (\frac{400}{881})) = 0$

Schritt 11.2

Multipliziere $1.04 (\frac{400}{881})$ .

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $1.04$ und $\frac{400}{881}$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1.04 \cdot 400}{881}) = 0$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $1.04$ mit $400$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{416}{881}) = 0$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $416$ und $881$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $416$ als $1 (416)$ um.

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1 (416)}{881}) = 0$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Schreibe $881$ als $1 (881)$ um.

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1 \cdot 416}{1 \cdot 881}) = 0$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1 \cdot 416}{1 \cdot 881}) = 0$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{416}{881}) = 0$

Schritt 12

Subtrahiere $\ln (\frac{416}{881})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (1.04) = - \ln (\frac{416}{881})$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.04) = - \ln (\frac{416}{881})$ durch $\ln (1.04)$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.04) = - \ln (\frac{416}{881})$ durch $\ln (1.04)$ .

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.04)$ .

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$n = - \frac{\ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = - \frac{\ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Dezimalform:

$n = 19.13204287 \dots$