Grundlegende Mathematik Beispiele

$93000 = 20000 ((\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02}) - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $20000 (\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ um.

$20000 (\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$

Schritt 2

Addiere $1$ und $0.02$ .

$20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ durch $20000$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ durch $20000$ .

$\frac{20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1)}{20000} = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20000$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1)}{20000} = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1$ durch $1$ .

$\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1 \cdot {1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $- 1$ als $1 (- 1)$ um.

$\frac{1 \cdot {1.02}^{n + 1} + 1 (- 1)}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $1$ aus $1 \cdot {1.02}^{n + 1} + 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{1 \cdot ({1.02}^{n + 1} - 1)}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere $0.02$ aus $0.02$ heraus.

$\frac{1 \cdot ({1.02}^{n + 1} - 1)}{0.02 (1)} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.5

Separiere Brüche.

$\frac{1}{0.02} \cdot \frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.6

Dividiere $1$ durch $0.02$ .

$50 \frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.7

Dividiere ${1.02}^{n + 1} - 1$ durch $1$ .

$50 ({1.02}^{n + 1} - 1) - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} + 50 \cdot - 1 - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.2.9

Mutltipliziere $50$ mit $- 1$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 50 - 1 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 50$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{93000}{20000}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $93000$ und $20000$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $1000$ aus $93000$ heraus.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 (93)}{20000}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $1000$ aus $20000$ heraus.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 \cdot 93}{1000 \cdot 20}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 \cdot 93}{1000 \cdot 20}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{93}{20}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $51$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + 51$

Schritt 4.2

Um $51$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + 51 \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 4.3

Kombiniere $51$ und $\frac{20}{20}$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + \frac{51 \cdot 20}{20}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93 + 51 \cdot 20}{20}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $51$ mit $20$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93 + 1020}{20}$

Schritt 4.5.2

Addiere $93$ und $1020$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$ durch $50$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$ durch $50$ .

$\frac{50 \cdot {1.02}^{n + 1}}{50} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 \cdot {1.02}^{n + 1}}{50} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere ${1.02}^{n + 1}$ durch $1$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20} \cdot \frac{1}{50}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{1113}{20} \cdot \frac{1}{50}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1113}{20}$ mit $\frac{1}{50}$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20 \cdot 50}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $50$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{1000}$

Schritt 6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.02}^{n + 1}) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Schritt 7

Zerlege $\ln ({1.02}^{n + 1})$ durch Herausziehen von $n + 1$ aus dem Logarithmus.

$(n + 1) \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Schritt 8

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1

Vereinfache $(n + 1) \ln (1.02)$ .

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n \ln (1.02) + 1 \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\ln (1.02)$ mit $1$ .

$n \ln (1.02) + \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$n \ln (1.02) + \ln (1.02) - \ln (\frac{1113}{1000}) = 0$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02}{\frac{1113}{1000}}) = 0$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$n \ln (1.02) + \ln (1.02 (\frac{1000}{1113})) = 0$

Schritt 11.2

Multipliziere $1.02 (\frac{1000}{1113})$ .

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $1.02$ und $\frac{1000}{1113}$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02 \cdot 1000}{1113}) = 0$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $1.02$ mit $1000$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1020}{1113}) = 0$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1020$ und $1113$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $3$ aus $1020$ heraus.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 (340)}{1113}) = 0$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $1113$ heraus.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 \cdot 340}{3 \cdot 371}) = 0$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 \cdot 340}{3 \cdot 371}) = 0$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{340}{371}) = 0$

Schritt 12

Subtrahiere $\ln (\frac{340}{371})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$ durch $\ln (1.02)$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$ durch $\ln (1.02)$ .

$\frac{n \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.02)$ .

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$n = - \frac{\ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = - \frac{\ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Dezimalform:

$n = 4.40630648 \dots$