Grundlegende Mathematik Beispiele

$r \cdot (R - H) = R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

Schritt 1

Löse nach $R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$ um.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$

Schritt 1.2

Vereinfache $r \cdot (R - H)$ .

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R + r (- H)$

Schritt 1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R - r H$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(R \sqrt{H^{2} + r^{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{H^{2} + r^{2}}$ als ${(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$R^{2} {({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{1} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$R^{2} (H^{2} + r^{2}) = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(r R - r H)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(r R - r H)}^{2}$ als $(r R - r H) (r R - r H)$ um.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = (r R - r H) (r R - r H)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(r R - r H) (r R - r H)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R - r H) - r H (r R - r H)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R - r H)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Bewege $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r \cdot r R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $R$ mit $R$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} (R \cdot R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $R$ mit $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r R (r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Bewege $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - (r \cdot r) R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - (r \cdot r) H R - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r H (- r H)$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.6.1

Bewege $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - (r \cdot r) H (- H)$

Schritt 3.3.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H (- H)$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Multipliziere $H$ mit $H$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.7.1

Bewege $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} (H \cdot H) \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.7.2

Mutltipliziere $H$ mit $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.8

Multipliziere $- r^{2} H^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + 1 r^{2} H^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.8.2

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $r^{2} H R$ von $- r^{2} R H$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Bewege $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} H R - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Subtrahiere $r^{2} H R$ von $- r^{2} H R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Schritt 4

Löse nach $H$ auf.

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Schritt 4.1

Da $H$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} = R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $R^{2} H^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2}$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $H$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $r^{2} R^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $R^{2} r^{2}$ und $- r^{2} R^{2}$ neu an.

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - R^{2} r^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $R^{2} r^{2}$ von $R^{2} r^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $H$ aus $- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $H$ aus $- 2 r^{2} H R$ heraus.

$H (- 2 r^{2} R) + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $H$ aus $r^{2} H^{2}$ heraus.

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) - R^{2} H^{2} = 0$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $H$ aus $- R^{2} H^{2}$ heraus.

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $H$ aus $H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H)$ heraus.

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $H$ aus $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H)$ heraus.

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$H = 0$

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Schritt 4.6

Setze $H$ gleich $0$ .

$H = 0$

Schritt 4.7

Setze $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ gleich $0$ und löse nach $H$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ gleich $0$ .

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$ nach $H$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Addiere $2 r^{2} R$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} H - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Schritt 4.7.2.2

Faktorisiere $H$ aus $r^{2} H - R^{2} H$ heraus.

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Schritt 4.7.2.2.1

Faktorisiere $H$ aus $r^{2} H$ heraus.

$H r^{2} - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Schritt 4.7.2.2.2

Faktorisiere $H$ aus $- R^{2} H$ heraus.

$H r^{2} + H (- R^{2}) = 2 r^{2} R$

Schritt 4.7.2.2.3

Faktorisiere $H$ aus $H r^{2} + H (- R^{2})$ heraus.

$H (r^{2} - R^{2}) = 2 r^{2} R$

Schritt 4.7.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 4.7.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = R$ .

$H ((r + R) (r - R)) = 2 r^{2} R$

Schritt 4.7.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$

Schritt 4.7.2.4

Teile jeden Ausdruck in $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ durch $(r + R) (r - R)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ durch $(r + R) (r - R)$ .

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Schritt 4.7.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r + R$ .

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Schritt 4.7.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Schritt 4.7.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Schritt 4.7.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r - R$ .

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Schritt 4.7.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Schritt 4.7.2.4.2.2.2

Dividiere $H$ durch $1$ .

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$ wahr machen.

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$