Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ als $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ um.

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ als $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ um.

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $n$ auf.

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Schritt 4.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Schritt 4.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Schritt 4.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ mit $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Schritt 4.4

Schreibe $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Schritt 4.5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Schritt 4.6

Vereinfache $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Schritt 4.6.1.2

Mutltipliziere $2 (1 + 4^{n})$ mit $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Schritt 4.6.4

Multipliziere $2 \cdot 4^{n}$ .

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Schritt 4.6.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Schritt 4.6.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Schritt 4.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Schritt 4.7

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.7.1

Subtrahiere $2^{1 + 2 n}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.2.1

Multipliziere $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.7.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.2.2.1

Multipliziere $2^{n}$ mit $2^{n}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2.1.2

Addiere $n$ und $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2.2

Mutltipliziere $2^{n}$ mit $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2.3

Multipliziere $2^{- n}$ mit $2^{n}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.2.2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2.3.2

Addiere $- n$ und $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2.4

Vereinfache $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.7.2.2.5

Mutltipliziere $2^{- n}$ mit $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Schritt 4.8

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Schritt 4.9

Schreibe $2^{1 + 2 n}$ als $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ um.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Schritt 4.10

Schreibe $2^{2 n}$ als Potenz um.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Schritt 4.11

Schreibe $2^{- n}$ als Potenz um.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Schritt 4.12

Schreibe $2^{2 n}$ als Potenz um.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Schritt 4.13

Entferne die Klammern.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Schritt 4.14

Ersetze $2^{n}$ durch $u$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Schritt 4.15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.15.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Schritt 4.15.2

Berechne den Exponenten.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Schritt 4.15.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Schritt 4.16

Subtrahiere $2 u^{2}$ von $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Schritt 4.17

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.17.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.17.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 1, u, 1$

Schritt 4.17.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.17.2

Multipliziere jeden Term in $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.17.2.1

Multipliziere jeden Term in $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ mit $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.17.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.17.2.2.1.1

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.17.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{2}$ .

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Schritt 4.17.2.2.1.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.17.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Schritt 4.17.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Schritt 4.17.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.17.2.3.1

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Schritt 4.17.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.17.3.1

Subtrahiere $u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Schritt 4.17.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.17.3.2.1

Stelle die Terme um.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Schritt 4.17.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.17.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Schritt 4.17.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Schritt 4.17.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.17.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.17.3.4

Setze $- u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.17.3.4.1

Setze $- u + 1$ gleich $0$ .

$- u + 1 = 0$

Schritt 4.17.3.4.2

Löse $- u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.17.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u = - 1$

Schritt 4.17.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- u = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.17.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- u = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.17.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.17.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.17.3.4.2.2.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.17.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.17.3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$u = 1$

Schritt 4.17.3.5

Setze $u^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.17.3.5.1

Setze $u^{2} + 1$ gleich $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.17.3.5.2

Löse $u^{2} + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.17.3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = - 1$

Schritt 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 4.17.3.5.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \pm i$

Schritt 4.17.3.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.17.3.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = i$

Schritt 4.17.3.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - i$

Schritt 4.17.3.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = i, - i$

Schritt 4.17.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 1, i, - i$

Schritt 4.18

Setze $1$ für $u$ in $u = 2^{n}$ ein.

$1 = 2^{n}$

Schritt 4.19

Löse $1 = 2^{n}$ .

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Schritt 4.19.1

Schreibe die Gleichung als $2^{n} = 1$ um.

$2^{n} = 1$

Schritt 4.19.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Schritt 4.19.3

Zerlege $\ln (2^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 4.19.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.19.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Schritt 4.19.5

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (2) = 0$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 4.19.5.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (2) = 0$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 4.19.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.19.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.19.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 4.19.5.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 4.19.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.19.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (2)$ .

$n = 0$

Schritt 4.20

Setze $i$ für $u$ in $u = 2^{n}$ ein.

$i = 2^{n}$

Schritt 4.21

Löse $i = 2^{n}$ .

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Schritt 4.21.1

Schreibe die Gleichung als $2^{n} = i$ um.

$2^{n} = i$

Schritt 4.21.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Schritt 4.21.3

Zerlege $\ln (2^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Schritt 4.21.4

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (2) = \ln (i)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 4.21.4.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (2) = \ln (i)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Schritt 4.21.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.21.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.21.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Schritt 4.21.4.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Schritt 4.22

Setze $- i$ für $u$ in $u = 2^{n}$ ein.

$- i = 2^{n}$

Schritt 4.23

Löse $- i = 2^{n}$ .

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Schritt 4.23.1

Schreibe die Gleichung als $2^{n} = - i$ um.

$2^{n} = - i$

Schritt 4.23.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Schritt 4.23.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- i)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.23.4

Es gibt keine Lösung für $2^{n} = - i$

Keine Lösung

Schritt 4.24

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$