Grundlegende Mathematik Beispiele

${(n - 5)}^{2} = 2 n$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 n$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(n - 5)}^{2} - 2 n = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(n - 5)}^{2}$ als $(n - 5) (n - 5)$ um.

$(n - 5) (n - 5) - 2 n = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(n - 5) (n - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n (n - 5) - 5 (n - 5) - 2 n = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$n \cdot n + n \cdot - 5 - 5 (n - 5) - 2 n = 0$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n \cdot n + n \cdot - 5 - 5 n - 5 \cdot - 5 - 2 n = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$n^{2} + n \cdot - 5 - 5 n - 5 \cdot - 5 - 2 n = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $n$ .

$n^{2} - 5 \cdot n - 5 n - 5 \cdot - 5 - 2 n = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$n^{2} - 5 n - 5 n + 25 - 2 n = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $5 n$ von $- 5 n$ .

$n^{2} - 10 n + 25 - 2 n = 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $2 n$ von $- 10 n$ .

$n^{2} - 12 n + 25 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 12$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $n$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$n = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$n = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$n = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $100$ von $144$ .

$n = \frac{12 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$n = \frac{12 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$n = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = \frac{12 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$n = \frac{12 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$n = 6 \pm \sqrt{11}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$n = 6 + \sqrt{11}, 6 - \sqrt{11}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = 6 + \sqrt{11}, 6 - \sqrt{11}$

Dezimalform:

$n = 9.31662479 \dots, 2.68337520 \dots$