Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\sqrt{2}}}$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt{\sqrt{2}}$ als $\sqrt[4]{2}$ um.

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt[4]{2}}$

Schritt 5

Um $- \sqrt[4]{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt[4]{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 6

Kombiniere $- \sqrt[4]{2}$ und $\frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}$ .

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} + \frac{- \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + 3)}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + 3)}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{5 - \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + 3)}{\sqrt{5} + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.2

Multipliziere $- \sqrt[4]{2} \sqrt{5}$ .

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Schritt 8.2.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 8.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{5 - (5^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $5^{\frac{2}{4}}$ um.

$\sqrt{\frac{5 - (5^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.2.1.3

Schreibe $5^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{5^{2}}$ um.

$\sqrt{\frac{5 - (\sqrt[4]{5^{2}} \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{5^{2} \cdot 2} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{25 \cdot 2} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{50} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3}$ mit $\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3}$ .

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3} \cdot \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3}}$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3}$ mit $\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3}$ .

$\sqrt{\frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3)}}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{\frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} \cdot - 3 + 3 \sqrt{5} - 9}}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

$\sqrt{\frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{- 4}}$

Schritt 10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{- \frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{4}}$

Schritt 11

Multipliziere $(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} + 5 \cdot - 3 - \sqrt[4]{50} \sqrt{5} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 12

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{50} \sqrt{5} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 13

Multipliziere $- \sqrt[4]{50} \sqrt{5}$ .

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Schritt 13.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (5^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{50}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 13.1.2

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $5^{\frac{2}{4}}$ um.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (5^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{50}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 13.1.3

Schreibe $5^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{5^{2}}$ um.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (\sqrt[4]{5^{2}} \sqrt[4]{50}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 13.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{5^{2} \cdot 50} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 13.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{25 \cdot 50} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $25$ mit $50$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{1250} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 14

Schreibe $1250$ als $5^{4} \cdot 2$ um.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $625$ aus $1250$ heraus.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{625 (2)} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 14.2

Schreibe $625$ als $5^{4}$ um.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{5^{4} \cdot 2} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (5 \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 16

Multipliziere.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 17

Multipliziere $- 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5}$ .

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Schritt 17.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 17.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 (5^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{2}) - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 17.1.2

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $5^{\frac{2}{4}}$ um.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 (5^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{2}) - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 17.1.3

Schreibe $5^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{5^{2}}$ um.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 (\sqrt[4]{5^{2}} \sqrt[4]{2}) - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 17.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{5^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 17.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{25 \cdot 2} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

Schritt 18

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{50} + 9 \sqrt[4]{2}}{4}}$

Schritt 19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.1

Addiere $- 5 \sqrt[4]{2}$ und $9 \sqrt[4]{2}$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{50}}{4}}$

Schritt 19.2

Subtrahiere $3 \sqrt[4]{50}$ von $3 \sqrt[4]{50}$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2} + 0}{4}}$

Schritt 19.3

Addiere $5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}$ und $0$ .

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}{4}}$

Schritt 20

Schreibe $- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})$ um.

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Schritt 20.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\sqrt{i^{2} \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}{4}}$

Schritt 20.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}$ heraus.

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}{4}}$

Schritt 20.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 20.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}))}$

Schritt 20.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}$

Schritt 21

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{i}{2} \sqrt{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}$

Schritt 22

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}$ .

$\frac{i \sqrt{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}}{2}$