Grundlegende Mathematik Beispiele

$(2 \sqrt{98} - 3 \sqrt{75}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $98$ als $7^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $49$ aus $98$ heraus.

$(2 \sqrt{49 (2)} - 3 \sqrt{75}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$(2 \sqrt{7^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{75}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(2 (7 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{75}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$(14 \sqrt{2} - 3 \sqrt{75}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.4

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$(14 \sqrt{2} - 3 \sqrt{25 (3)}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(14 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5^{2} \cdot 3}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(14 \sqrt{2} - 3 (5 \sqrt{3})) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (7 \sqrt{8} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (7 \sqrt{4 (2)} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (7 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (7 (2 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (14 \sqrt{2} + 5 \sqrt{27})$

Schritt 1.2.4

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (14 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 (3)})$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (14 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 3})$

Schritt 1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (14 \sqrt{2} + 5 (3 \sqrt{3}))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (14 \sqrt{2} + 15 \sqrt{3})$

Schritt 2

Multipliziere $(14 \sqrt{2} - 15 \sqrt{3}) (14 \sqrt{2} + 15 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 \sqrt{2} (14 \sqrt{2} + 15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2} + 15 \sqrt{3})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14 \sqrt{2} (14 \sqrt{2}) + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2} + 15 \sqrt{3})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 \sqrt{2} (14 \sqrt{2}) + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $14 \sqrt{2} (14 \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $14$ mit $14$ .

$196 \sqrt{2} \sqrt{2} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$196 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$196 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$196 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$196 {\sqrt{2}}^{2} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$196 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$196 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$196 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$196 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$196 \cdot 2^{1} + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$196 \cdot 2 + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $196$ mit $2$ .

$392 + 14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $14 \sqrt{2} (15 \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $14$ .

$392 + 210 \sqrt{2} \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$392 + 210 \sqrt{3 \cdot 2} - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2}) - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- 15 \sqrt{3} (14 \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $14$ mit $- 15$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{3} \sqrt{2} - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{2 \cdot 3} - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $- 15 \sqrt{3} (15 \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $15$ mit $- 15$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Schritt 3.1.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Schritt 3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Schritt 3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 3.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 \cdot 3^{1}$

Schritt 3.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 225 \cdot 3$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $- 225$ mit $3$ .

$392 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6} - 675$

Schritt 3.2

Subtrahiere $675$ von $392$ .

$- 283 + 210 \sqrt{6} - 210 \sqrt{6}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $210 \sqrt{6}$ von $210 \sqrt{6}$ .

$- 283 + 0$

Schritt 3.4

Addiere $- 283$ und $0$ .

$- 283$