Grundlegende Mathematik Beispiele

$(3 a - \frac{1}{3} b) (a - \frac{1}{4} b)$

Schritt 1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{3}$ .

$(3 a - \frac{b}{3}) (a - \frac{1}{4} b)$

Schritt 1.2

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{4}$ .

$(3 a - \frac{b}{3}) (a - \frac{b}{4})$

Schritt 2

Multipliziere $(3 a - \frac{b}{3}) (a - \frac{b}{4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a (a - \frac{b}{4}) - \frac{b}{3} (a - \frac{b}{4})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a \cdot a + 3 a (- \frac{b}{4}) - \frac{b}{3} (a - \frac{b}{4})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a \cdot a + 3 a (- \frac{b}{4}) - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $a$ .

$3 (a \cdot a) + 3 a (- \frac{b}{4}) - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$3 a^{2} + 3 a (- \frac{b}{4}) - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $3 a (- \frac{b}{4})$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 a^{2} - 3 a \frac{b}{4} - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{b}{4}$ .

$3 a^{2} + a \frac{- 3 b}{4} - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $a$ und $\frac{- 3 b}{4}$ .

$3 a^{2} + \frac{a (- 3 b)}{4} - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.3

Entferne unnötige Klammern.

$3 a^{2} + \frac{a \cdot - 3 b}{4} - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 a^{2} + \frac{- 3 \cdot a b}{4} - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 a^{2} - \frac{3 \cdot a b}{4} - \frac{b}{3} a - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $a$ und $\frac{b}{3}$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} - \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $- \frac{b}{3} (- \frac{b}{4})$ .

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + 1 \frac{b}{3} \frac{b}{4}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{b}{3}$ mit $1$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b}{3} \cdot \frac{b}{4}$

Schritt 3.1.7.3

Mutltipliziere $\frac{b}{3}$ mit $\frac{b}{4}$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b \cdot b}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.4

Potenziere $b$ mit $1$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b^{1} b}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.5

Potenziere $b$ mit $1$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b^{1} b^{1}}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b^{1 + 1}}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b^{2}}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.8

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} - \frac{a b}{3} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{3 a b}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{a b}{3} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{a b}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{a b}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 a b}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{a b}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b \cdot 3}{12} - \frac{a b}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{a b}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b \cdot 3}{12} - \frac{a b \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$3 a^{2} - \frac{3 a b \cdot 3}{12} - \frac{a b \cdot 4}{12} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 a^{2} + \frac{- 3 a b \cdot 3 - a b \cdot 4}{12} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.6

Um $3 a^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$3 a^{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{- 3 a b \cdot 3 - a b \cdot 4}{12} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.7

Kombiniere $3 a^{2}$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3 a^{2} \cdot 12}{12} + \frac{- 3 a b \cdot 3 - a b \cdot 4}{12} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 a^{2} \cdot 12 - 3 a b \cdot 3 - a b \cdot 4}{12} + \frac{b^{2}}{12}$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 a^{2} \cdot 12 - 3 a b \cdot 3 - a b \cdot 4 + b^{2}}{12}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{36 a^{2} - 3 a b \cdot 3 - a b \cdot 4 + b^{2}}{12}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{36 a^{2} - 9 a b - a b \cdot 4 + b^{2}}{12}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{36 a^{2} - 9 a b - 4 a b + b^{2}}{12}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $4 a b$ von $- 9 a b$ .

$\frac{36 a^{2} - 13 a b + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 36 \cdot 1 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 4.5.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{36 a^{2} + b^{2} - 13 a b}{12}$

Schritt 4.5.1.2

Stelle $b^{2}$ und $- 13 a b$ um.

$\frac{36 a^{2} - 13 a b + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 a b$ heraus.

$\frac{36 a^{2} - 13 (a b) + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 13$ um als $- 4$ plus $- 9$

$\frac{36 a^{2} + (- 4 - 9) (a b) + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 a^{2} - 4 (a b) - 9 (a b) + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{36 a^{2} - 4 a b - 9 a b + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(36 a^{2} - 4 a b) - 9 a b + b^{2}}{12}$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 a (9 a - b) - b (9 a - b)}{12}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 a - b$ .

$\frac{(9 a - b) (4 a - b)}{12}$