Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\sqrt{9 + 3 \sqrt{5}}) (\sqrt{9 - 3 \sqrt{5}})$

Schritt 1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{(9 + 3 \sqrt{5}) (9 - 3 \sqrt{5})}$

Schritt 2

Multipliziere $(9 + 3 \sqrt{5}) (9 - 3 \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{9 (9 - 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (9 - 3 \sqrt{5})}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{9 \cdot 9 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (9 - 3 \sqrt{5})}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{9 \cdot 9 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\sqrt{81 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{1}}$

Schritt 3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 45}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $45$ von $81$ .

$\sqrt{36 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5}}$

Schritt 3.3

Addiere $- 27 \sqrt{5}$ und $27 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 + 0}$

Schritt 3.4

Addiere $36$ und $0$ .

$\sqrt{36}$

Schritt 4

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{6^{2}}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$6$