Grundlegende Mathematik Beispiele

$- a^{3} + 2 a^{2} + a - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- a^{3} + 2 a^{2}) + a - 2 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$a^{2} (- a + 2) - 1 (- a + 2) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- a + 2$ .

$(- a + 2) (a^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(- a + 2) (a^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$(- a + 2) ((a + 1) (a - 1)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(- a + 2) (a + 1) (a - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- a + 2 = 0$

$a + 1 = 0$

$a - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $- a + 2$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $- a + 2$ gleich $0$ .

$- a + 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $- a + 2 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- a = - 2$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- a = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- a = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- a}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{a}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$a = 2$

Schritt 4

Setze $a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $a + 1$ gleich $0$ .

$a + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 1$

Schritt 5

Setze $a - 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $a - 1$ gleich $0$ .

$a - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- a + 2) (a + 1) (a - 1) = 0$ wahr machen.

$a = 2, - 1, 1$