Grundlegende Mathematik Beispiele

$6^{a + 2} = 64 \cdot 3^{a + 2}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (6^{a + 2}) = \ln (64 \cdot 3^{a + 2})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (6^{a + 2})$ durch Herausziehen von $a + 2$ aus dem Logarithmus.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64 \cdot 3^{a + 2})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (64 \cdot 3^{a + 2})$ als $\ln (64) + \ln (3^{a + 2})$ um.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64) + \ln (3^{a + 2})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (3^{a + 2})$ durch Herausziehen von $a + 2$ aus dem Logarithmus.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Vereinfache $(a + 2) \ln (6)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a \ln (6) + 2 \ln (6) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (6)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$a \ln (6) + \ln (6^{2}) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $\ln (64) + (a + 2) \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + 2 \ln (3)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + \ln (3^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + \ln (9)$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = a \ln (3) + \ln (64 \cdot 9)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $64$ mit $9$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = a \ln (3) + \ln (576)$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$a \ln (6) + \ln (36) - a \ln (3) - \ln (576) = 0$

Schritt 5.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36}{576}) = 0$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $576$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 (1)}{576}) = 0$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $36$ aus $576$ heraus.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 16}) = 0$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 16}) = 0$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 5.6

Subtrahiere $\ln (\frac{1}{16})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (6) - a \ln (3) = - \ln (\frac{1}{16})$

Schritt 5.7

Faktorisiere $a$ aus $a \ln (6) - a \ln (3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Faktorisiere $a$ aus $a \ln (6)$ heraus.

$a (\ln (6)) - a \ln (3) = - \ln (\frac{1}{16})$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $a$ aus $- a \ln (3)$ heraus.

$a (\ln (6)) + a (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere $a$ aus $a (\ln (6)) + a (- 1 \ln (3))$ heraus.

$a (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Schritt 5.8

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Schritt 5.9

Teile jeden Ausdruck in $a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$ durch $\ln (6) - \ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Teile jeden Ausdruck in $a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$ durch $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{a (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (6) - \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 5.9.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{\ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = - \frac{\ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Dezimalform:

$a = 4$