Grundlegende Mathematik Beispiele

$a^{2} = \sqrt{2} a + 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{2} a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} - \sqrt{2} a = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} - \sqrt{2} a - 1 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Addiere $2$ und $4$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Dezimalform:

$a = 1.93185165 \dots, - 0.51763809 \dots$