Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{a + 6}}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a + 6}$ als ${(a + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(a + 6)}^{1} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$a + 6 = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ als $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ um.

$a + 6 = (\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a + 6 = \sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - 1) - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{2 a}$ mit $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2 a}$ mit $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 a}}^{2}$ als $2 a$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 a}$ als ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a + 6 = {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a + 6 = {(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$a + 6 = 2 a + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 1 \cdot \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \sqrt{2 a}$ als $- \sqrt{2 a}$ um.

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \sqrt{2 a}$ als $- \sqrt{2 a}$ um.

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $\sqrt{2 a}$ von $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1$

Schritt 3

Löse nach $- 2 \sqrt{2 a}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$ um.

$2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 2 \sqrt{2 a}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6 - 2 a$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sqrt{2 a} = a + 6 - 2 a - 1$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $2 a$ von $a$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 6 - 1$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 5$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 2 \sqrt{2 a})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 a}$ als ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- 2^{\frac{3}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 a^{1} = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.9

Vereinfache.

$8 a = {(- a + 5)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(- a + 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(- a + 5)}^{2}$ als $(- a + 5) (- a + 5)$ um.

$8 a = (- a + 5) (- a + 5)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(- a + 5) (- a + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 a = - a (- a + 5) + 5 (- a + 5)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a + 5)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 a = - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 a = 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$8 a = a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$8 a = a^{2} - 5 a + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $5 a$ von $- 5 a$ .

$8 a = a^{2} - 10 a + 25$

Schritt 6

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$a^{2} - 10 a + 25 = 8 a$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $8 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} - 10 a + 25 - 8 a = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $8 a$ von $- 10 a$ .

$a^{2} - 18 a + 25 = 0$

Schritt 6.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 18$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $324$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4

Schreibe $224$ als $4^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 6.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $224$ heraus.

$a = \frac{18 \pm \sqrt{16 (14)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a = \frac{18 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$ .

$a = 9 \pm 2 \sqrt{14}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}, 9 - 2 \sqrt{14}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$ nicht erfüllen.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Dezimalform:

$a = 16.48331477 \dots$