Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} = a + b \sqrt{7}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ um.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} + \sqrt{77} - \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ mit $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ mit $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Schritt 2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Schritt 2.4

Schreibe ${(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}$ als $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ um.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.5

Multipliziere $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.3

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.6

Mutltipliziere $11$ mit $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.8

Mutltipliziere $7$ mit $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 7}}{4}$

Schritt 2.6.1.10

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{49}}{4}$

Schritt 2.6.1.11

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7^{2}}}{4}$

Schritt 2.6.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + 7}{4}$

Schritt 2.6.2

Addiere $11$ und $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + \sqrt{77} + \sqrt{77}}{4}$

Schritt 2.6.3

Addiere $\sqrt{77}$ und $\sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18 + 2 \sqrt{77}$ und $4$ .

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{77}$ heraus.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})}{4}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})$ heraus.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{4}$

Schritt 2.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 (2)}$

Schritt 2.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$a + b \sqrt{7} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Schritt 3

Subtrahiere $b \sqrt{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} - b \sqrt{7}$