Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} = a - b \sqrt{77}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ um.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{77} + \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ mit $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ mit $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Schritt 2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Schritt 2.4

Schreibe ${(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{2}$ als $(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})$ um.

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.5

Multipliziere $(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.3

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.5

Multipliziere $\sqrt{11} (- \sqrt{7})$ .

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Schritt 2.6.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{11 \cdot 7} - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.5.2

Mutltipliziere $11$ mit $7$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.6

Multipliziere $- \sqrt{7} \sqrt{11}$ .

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Schritt 2.6.1.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{11 \cdot 7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.6.2

Mutltipliziere $11$ mit $7$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 2.6.1.7

Multipliziere $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Schritt 2.6.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.7.2

Mutltipliziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.7.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.6.1.7.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}{4}$

Schritt 2.6.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 2.6.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Schritt 2.6.1.8

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 2.6.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 2.6.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 2.6.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 2.6.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 2.6.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{1}}{4}$

Schritt 2.6.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7}{4}$

Schritt 2.6.2

Addiere $11$ und $7$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{18 - \sqrt{77} - \sqrt{77}}{4}$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $\sqrt{77}$ von $- \sqrt{77}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{18 - 2 \sqrt{77}}{4}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18 - 2 \sqrt{77}$ und $4$ .

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9) - 2 \sqrt{77}}{4}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{77}$ heraus.

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9) + 2 (- \sqrt{77})}{4}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9) + 2 (- \sqrt{77})$ heraus.

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{4}$

Schritt 2.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$a - b \sqrt{77} = \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

Schritt 3

Addiere $b \sqrt{77}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = \frac{9 - \sqrt{77}}{2} + b \sqrt{77}$