Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{3}{5} \cdot ({(a b)}^{3} b^{3} a^{- 5})}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{3}{5} \cdot {(a b)}^{3} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $a b$ an.

$\frac{\frac{3}{5} \cdot (a^{3} b^{3}) b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{3}{5} \cdot a^{3} b^{3} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $a^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3}}{5} b^{3} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{3 a^{3}}{5}$ und $b^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{3}}{5} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $\frac{3 a^{3} b^{3}}{5}$ und $b^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{3} b^{3}}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.4

Multipliziere $b^{3}$ mit $b^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1

Bewege $b^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} (b^{3} b^{3})}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{3 + 3}}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{6}}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{3 a^{3} b^{6}}{5}$ und $a^{- 5}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{6} a^{- 5}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.6

Multipliziere $a^{3}$ mit $a^{- 5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.6.1

Bewege $a^{- 5}$ .

$\frac{\frac{3 (a^{- 5} a^{3}) b^{6}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{3 a^{- 5 + 3} b^{6}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.3.6.3

Addiere $- 5$ und $3$ .

$\frac{\frac{3 a^{- 2} b^{6}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.4

Bringe $b^{- 3}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{\frac{3 a^{- 2} b^{6}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3 \frac{1}{a^{2}} b^{6}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{\frac{\frac{3}{a^{2}} b^{6}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.5.2.2

Kombiniere $\frac{3}{a^{2}}$ und $b^{6}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{6}}{a^{2}}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.6

Kombiniere $\frac{\frac{3 b^{6}}{a^{2}}}{5}$ und $b^{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{6}}{a^{2}} b^{3}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.7

Kombiniere $\frac{3 b^{6}}{a^{2}}$ und $b^{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{6} b^{3}}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.8

Multipliziere $b^{6}$ mit $b^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.1

Bewege $b^{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 (b^{3} b^{6})}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\frac{3 b^{3 + 6}}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.8.3

Addiere $3$ und $6$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{9}}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{3 b^{9}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.9.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{3 b^{9} \cdot 1}{a^{2} \cdot 5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.9.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{3 b^{9}}{a^{2} \cdot 5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.9.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$\frac{\frac{3 b^{9}}{5 \cdot a^{2}}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.9.5

Mutltipliziere $5$ mit $a^{2}$ .

$\frac{\frac{3 b^{9}}{5 a^{2}}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 b^{9}}{5 a^{2}} \cdot \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.11

Kombinieren.

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 a^{2} (3 a^{2})} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.12

Multipliziere $a^{2}$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.1

Bewege $a^{2}$ .

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 (a^{2} a^{2}) \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 a^{2 + 2} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.12.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 a^{4} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $3 b^{9}$ mit $1$ .

$\frac{3 b^{9}}{5 a^{4} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 b^{9}}{5 a^{4} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Schritt 1.15

Entferne die Klammern.

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{1}{5} \cdot b^{9} a^{- 4}$

Schritt 1.16

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $b^{9}$ .

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9}}{5} a^{- 4}$

Schritt 1.17

Kombiniere $\frac{b^{9}}{5}$ und $a^{- 4}$ .

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$5 a^{4}, 5$

Schritt 2.2

Since $5 a^{4}, 5$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5$ then find LCM for the variable part $a^{4}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Da $5$ keine Teiler außer $1$ und $5$ hat.

$5$ ist eine Primzahl

Schritt 2.5

Das kgV von $5, 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$5$

Schritt 2.6

Die Teiler von $a^{4}$ sind $a \cdot a \cdot a \cdot a$ , was $a$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$a^{4} = a \cdot a \cdot a \cdot a$

$a$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 2.7

Das kgV von $a^{4}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a \cdot a \cdot a \cdot a$

Schritt 2.8

Vereinfache $a \cdot a \cdot a \cdot a$ .

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} \cdot a \cdot a$

Schritt 2.8.2

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.2.1

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 2.8.2.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1} \cdot a$

Schritt 2.8.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2 + 1} \cdot a$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$a^{3} \cdot a$

Schritt 2.8.3

Multipliziere $a^{3}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.3.1

Mutltipliziere $a^{3}$ mit $a$ .

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Schritt 2.8.3.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{3} \cdot a^{1}$

Schritt 2.8.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{3 + 1}$

Schritt 2.8.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$a^{4}$

Schritt 2.9

Das kgV von $5 a^{4}, 5$ ist der numerische Teil $5$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$5 a^{4}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5}$ mit $5 a^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5}$ mit $5 a^{4}$ .

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} (5 a^{4}) = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \frac{b^{9}}{5 a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 a^{4}$ heraus.

$5 \frac{b^{9}}{5 (a^{4})} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{b^{9}}{5 a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b^{9}}{a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b^{9}}{a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$b^{9} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$b^{9} = 5 \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} a^{4}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{9} = 5 \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} a^{4}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$b^{9} = b^{9} a^{- 4} a^{4}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $a^{- 4}$ mit $a^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1

Bewege $a^{4}$ .

$b^{9} = b^{9} (a^{4} a^{- 4})$

Schritt 3.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b^{9} = b^{9} a^{4 - 4}$

Schritt 3.3.3.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$b^{9} = b^{9} a^{0}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache $b^{9} a^{0}$ .

$b^{9} = b^{9}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$b = b$

Schritt 4.2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.2.1

Bringe alle Terme, die $b$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b - b = 0$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$0 = 0$

Schritt 4.2.2

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Immer wahr

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$