Grundlegende Mathematik Beispiele

${(a^{2} + 15 a)}^{\frac{1}{3}} = 3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${({(a^{2} + 15 a)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache ${({(a^{2} + 15 a)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(a^{2} + 15 a)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a^{2} + 15 a)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a^{2} + 15 a)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(a^{2} + 15 a)}^{1} = {(3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

$a^{2} + 15 a = {(3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache ${(3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $3 {(a - 1)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$a^{2} + 15 a = 3^{3} {({(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$a^{2} + 15 a = 27 {({(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(a - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{2} + 15 a = 27 {(a - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} + 15 a = 27 {(a - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} + 15 a = 27 {(a - 1)}^{1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$a^{2} + 15 a = 27 (a - 1)$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 15 a = 27 a + 27 \cdot - 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$a^{2} + 15 a = 27 a - 27$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $27 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} + 15 a - 27 a = - 27$

Schritt 4.2

Subtrahiere $27 a$ von $15 a$ .

$a^{2} - 12 a = - 27$

Schritt 5

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} - 12 a + 27 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $a^{2} - 12 a + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(a - 9) (a - 3) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a - 9 = 0$

$a - 3 = 0$

Schritt 8

Setze $a - 9$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $a - 9$ gleich $0$ .

$a - 9 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 9$

Schritt 9

Setze $a - 3$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $a - 3$ gleich $0$ .

$a - 3 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 3$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a - 9) (a - 3) = 0$ wahr machen.

$a = 9, 3$