Grundlegende Mathematik Beispiele

$(16 - a^{2}) \cdot \sqrt{a + 3} = 0$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \sqrt{a + 3} - a^{2} \sqrt{a + 3} = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a + 3}$ als ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$16 {(a + 3)}^{\frac{1}{2}} - a^{2} \sqrt{a + 3} = 0$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a + 3}$ als ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$16 {(a + 3)}^{\frac{1}{2}} - a^{2} {(a + 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Füge Klammern hinzu.

$16 {(a + 3)}^{\frac{1}{2}} - (a^{2} {(a + 3)}^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 3.2

Es sei $u = {(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 u - a^{2} u = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $u$ aus $16 u - a^{2} u$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $u$ aus $16 u$ heraus.

$u \cdot 16 - a^{2} u = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- a^{2} u$ heraus.

$u \cdot 16 + u (- a^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 16 + u (- a^{2})$ heraus.

$u (16 - a^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u (4^{2} - a^{2}) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = a$ .

$u ((4 + a) (4 - a)) = 0$

Schritt 3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (4 + a) (4 - a) = 0$

Schritt 3.6

Ersetze alle $u$ durch ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(a + 3)}^{\frac{1}{2}} (4 + a) (4 - a) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(a + 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$4 + a = 0$

$4 - a = 0$

Schritt 5

Setze ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 5.1

Setze ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

${(a + 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 5.2

Löse ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $a + 3$ gleich $0$ .

$a + 3 = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 3$

Schritt 6

Setze $4 + a$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $4 + a$ gleich $0$ .

$4 + a = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 4$

Schritt 7

Setze $4 - a$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $4 - a$ gleich $0$ .

$4 - a = 0$

Schritt 7.2

Löse $4 - a = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- a = - 4$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- a = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- a = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- a}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{a}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$a = 4$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(a + 3)}^{\frac{1}{2}} (4 + a) (4 - a) = 0$ wahr machen.

$a = - 3, - 4, 4$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $(16 - a^{2}) \cdot \sqrt{a + 3} = 0$ nicht erfüllen.

$a = - 3, 4$