Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

Schritt 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Schritte, um das kgV für $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $a^{2}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $a + 5, a - 5$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Die Teiler von $a^{2}$ sind $a \cdot a$ , was $a$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.7

Das kgV von $a^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a \cdot a$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2}$

Schritt 2.9

Der Teiler von $a + 5$ ist $a + 5$ selbst.

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.10

Der Teiler von $a - 5$ ist $a - 5$ selbst.

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.11

Das kgV von $a + 5, a - 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(a + 5) (a - 5)$

Schritt 2.12

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ mit $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ mit $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ heraus.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $(a + 5) (a - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a \cdot - 5$ und $5 a$ neu an.

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.3.2

Addiere $- 5 a$ und $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.3.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(a + 5) (a - 5)$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Faktorisiere $(a + 5) (a - 5)$ aus $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ heraus.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.2.2

Addiere $9 a^{2}$ und $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ mit $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Schritt 3.3.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

Schritt 3.3.5

Multipliziere $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

Schritt 3.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

Schritt 3.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.6.1.1

Multipliziere $a^{3}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.6.1.1.1

Mutltipliziere $a^{3}$ mit $a$ .

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Schritt 3.3.6.1.1.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.3

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.6.1.3.1

Bewege $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 3.3.6.1.3.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.3.6.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $- 5 a^{3}$ und $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

Schritt 3.3.6.3

Addiere $a^{4}$ und $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

Schritt 4.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $25 a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

Schritt 4.2.2

Addiere $225$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $25 a^{2}$ von $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

Schritt 4.4

Setze $u = a^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $u^{2} - 50 u + 225$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $225$ und deren Summe $- 50$ ist.

$- 45, - 5$

Schritt 4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 4.7

Setze $u - 45$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $u - 45$ gleich $0$ .

$u - 45 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $45$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 45$

Schritt 4.8

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 45) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 45, 5$

Schritt 4.10

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = a^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

Schritt 4.11

Löse die erste Gleichung nach $a$ auf.

$a^{2} = 45$

Schritt 4.12

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

Schritt 4.12.2

Vereinfache $\pm \sqrt{45}$ .

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Schritt 4.12.2.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.12.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

Schritt 4.12.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Schritt 4.12.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.13

Löse die zweite Gleichung nach $a$ auf.

${(a^{2})}^{1} = 5$

Schritt 4.14

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.14.1

Entferne die Klammern.

$a^{2} = 5$

Schritt 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

Schritt 4.14.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.14.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = \sqrt{5}$

Schritt 4.14.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - \sqrt{5}$

Schritt 4.14.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 4.15

Die Lösung von $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ ist $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$