Grundlegende Mathematik Beispiele

$a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b + 10 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = b^{2} - 6 b + 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (b^{2} - 6 b + 10))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (b^{2} - 6 b + 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (b^{2} - 6 b + 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} - 4 (- 6 b) - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} + 24 b - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} + 24 b - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $40$ von $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 b^{2} + 24 b - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $- 4 b^{2} + 24 b - 36$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 b^{2} + 24 b - 36$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 24 b - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $24 b$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 4 (6 b) - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 4 (6 b) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- b^{2}) + 4 (6 b)$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 b) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- b^{2} + 6 b) + 4 (- 9)$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 3.1.6.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 b$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 (b) - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.1.2

Schreibe $6$ um als $3$ plus $3$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + (3 + 3) b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 3 b + 3 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- b^{2} + 3 b) + 3 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (b (- b + 3) - 3 (- b + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- b + 3$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- b + 3) (b - 3))}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b + 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b) + 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b) - 1 \cdot - 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - 1 (- 3)$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b - 3)) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.4

Schreibe $- (b - 3)$ als $- 1 (b - 3)$ um.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- 1 (b - 3)) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.5

Potenziere $b - 3$ mit $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 ((b - 3) (b - 3)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.6

Potenziere $b - 3$ mit $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 ((b - 3) (b - 3)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 {(b - 3)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 {(b - 3)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 {(b - 3)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $- 4 {(b - 3)}^{2}$ als ${(2 (b - 3))}^{2} \cdot - 1$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- 1) {(b - 3)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 {(b - 3)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.3

Bewege $- 1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} {(b - 3)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.4

Schreibe $2^{2} {(b - 3)}^{2}$ als ${(2 (b - 3))}^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{{(2 (b - 3))}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 2 \pm 2 (b - 3) \sqrt{- 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.9

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 2 \pm 2 (b - 3) i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 \pm (2 b + 2 \cdot - 3) i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$a = \frac{- 2 \pm (2 b - 6) i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 \pm (2 b i - 6 i)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm (2 b i - 6 i)}{2}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - 1 + b i - 3 i$

$a = - 1 - b i + 3 i$