Grundlegende Mathematik Beispiele

$5^{x^{2}} \cdot 5^{- 4 x} = 3125$

Schritt 1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{x^{2} - 4 x} = 3125$

Schritt 2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x^{2} - 4 x} = 5^{5}$

Schritt 3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x^{2} - 4 x = 5$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 1$