Grundlegende Mathematik Beispiele

$A = \frac{P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1}{\frac{r}{n}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1}{\frac{r}{n}} = A$ um.

$\frac{P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1}{\frac{r}{n}} = A$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{r}{n}$ .

$\frac{P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1}{\frac{r}{n}} \cdot \frac{r}{n} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1}{\frac{r}{n}} \cdot \frac{r}{n}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1) \frac{n}{r} \frac{r}{n} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1$ mit $\frac{n}{r}$ .

$\frac{(P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1) n}{r} \cdot \frac{r}{n} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.3

Kombinieren.

$\frac{(P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1) n r}{r n} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1) n r}{r n} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1) r}{r} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1) r}{r} = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.5.2

Dividiere $P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1$ durch $1$ .

$P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} - 1 = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.1.1.6

Stelle $1$ und $\frac{r}{n}$ um.

$P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t} - 1 = A \frac{r}{n}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $A$ und $\frac{r}{n}$ .

$P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t} - 1 = \frac{A r}{n}$

Schritt 4

Löse nach $P$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t} = \frac{A r}{n} + 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t} = \frac{A r}{n} + 1$ durch ${(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t} = \frac{A r}{n} + 1$ durch ${(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}$ .

$\frac{P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} = \frac{\frac{A r}{n}}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{P {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} = \frac{\frac{A r}{n}}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $P$ durch $1$ .

$P = \frac{\frac{A r}{n}}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$P = \frac{A r}{n} \cdot \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kombinieren.

$P = \frac{A r \cdot 1}{n {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$P = \frac{A r}{n {(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{A r}{n {(\frac{r}{n} + \frac{n}{n})}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{A r}{n {(\frac{r + n}{n})}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{r + n}{n}$ an.

$P = \frac{A r}{n \frac{{(r + n)}^{n t}}{n^{n t}}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.5

Kombiniere $n$ und $\frac{{(r + n)}^{n t}}{n^{n t}}$ .

$P = \frac{A r}{\frac{n {(r + n)}^{n t}}{n^{n t}}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$P = A r \frac{n^{n t}}{n {(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n^{n t}$ und $n$ .

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Schritt 4.2.3.1.7.1

Faktorisiere $n$ aus $n^{n t}$ heraus.

$P = A r \frac{n \cdot n^{n t - 1}}{n {(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.7.2.1

Faktorisiere $n$ aus $n {(r + n)}^{n t}$ heraus.

$P = A r \frac{n \cdot n^{n t - 1}}{n ({(r + n)}^{n t})} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P = A r \frac{n \cdot n^{n t - 1}}{n {(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$P = A r \frac{n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.8

Multipliziere $A r \frac{n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.8.1

Kombiniere $A$ und $\frac{n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}}$ .

$P = r \frac{A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.8.2

Kombiniere $r$ und $\frac{A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}}$ .

$P = \frac{r (A n^{n t - 1})}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + 1)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1.9.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{r A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r}{n} + \frac{n}{n})}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{r A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{{(\frac{r + n}{n})}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.9.3

Wende die Produktregel auf $\frac{r + n}{n}$ an.

$P = \frac{r A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{1}{\frac{{(r + n)}^{n t}}{n^{n t}}}$

Schritt 4.2.3.1.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$P = \frac{r A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + 1 \frac{n^{n t}}{{(r + n)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.1.11

Mutltipliziere $\frac{n^{n t}}{{(r + n)}^{n t}}$ mit $1$ .

$P = \frac{r A n^{n t - 1}}{{(r + n)}^{n t}} + \frac{n^{n t}}{{(r + n)}^{n t}}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{r A n^{n t - 1} + n^{n t}}{{(r + n)}^{n t}}$