Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{r - 2}{r^{2} - 2 r - 8} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $r^{2} - 2 r - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $r^{2} - 2 r - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(r - 4) (r + 2), r + 2, (r - 4) (r + 2)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $r - 4$ ist $r - 4$ selbst.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $r + 2$ ist $r + 2$ selbst.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $r - 4$ ist $r - 4$ selbst.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $r + 2$ ist $r + 2$ selbst.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $r - 4, r + 2, r + 2, r - 4, r + 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(r - 4) (r + 2)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ mit $(r - 4) (r + 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ mit $(r - 4) (r + 2)$ .

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(r - 4) (r + 2)$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r + 2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $r + 2$ aus $(r - 4) (r + 2)$ heraus.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r - 2 + (r - 3) (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(r - 3) (r - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r - 2 + r (r - 4) - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r - 2 + r^{2} + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $r$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 \cdot r - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 r - 3 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.1.4.2

Subtrahiere $3 r$ von $- 4 r$ .

$r - 2 + r^{2} - 7 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $7 r$ von $r$ .

$- 6 r - 2 + r^{2} + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 2$ und $12$ .

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(r - 4) (r + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 r + r^{2} + 10 = 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 r + r^{2} + 10 - 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$- 6 r + r^{2} + 9 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Es sei $u = r$ . Ersetze $u$ für alle $r$ .

$- 6 u + u^{2} + 9 = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.2.1

Ordne Terme um.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Schritt 4.3.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $r$ .

${(r - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Setze $r - 3$ gleich $0$ .

$r - 3 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 3$