Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{5}{1 + R} + \frac{5 + 100}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$

Schritt 1

Addiere $5$ und $100$ .

$\frac{5}{1 + R} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 + R, {(1 + R)}^{2}, 1$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $1 + R$ ist $1 + R$ selbst.

$(1 + R) = 1 + R$

$(1 + R)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Die Teiler von $1 + R$ sind $(1 + R) \cdot (1 + R)$ , was $1 + R$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.7

Das kgV von $1 + R, {(1 + R)}^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(1 + R)}^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{1 + R} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$ mit ${(1 + R)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{1 + R} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$ mit ${(1 + R)}^{2}$ .

$\frac{5}{1 + R} {(1 + R)}^{2} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + R$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $1 + R$ aus ${(1 + R)}^{2}$ heraus.

$\frac{5}{1 + R} ((1 + R) (1 + R)) + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{1 + R} ((1 + R) (1 + R)) + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (1 + R) + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 1 + 5 R + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + 5 R + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + R)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 + 5 R + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 + 5 R + 105 = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Addiere $5$ und $105$ .

$5 R + 110 = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache $101.7 {(1 + R)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$5 R + 110 = 0 + 0 + 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${(1 + R)}^{2}$ als $(1 + R) (1 + R)$ um.

$5 R + 110 = 101.7 ((1 + R) (1 + R))$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $(1 + R) (1 + R)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 R + 110 = 101.7 (1 (1 + R) + R (1 + R))$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 R + 110 = 101.7 (1 \cdot 1 + 1 R + R (1 + R))$

Schritt 4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 R + 110 = 101.7 (1 \cdot 1 + 1 R + R \cdot 1 + R \cdot R)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + 1 R + R \cdot 1 + R \cdot R)$

Schritt 4.1.4.1.2

Mutltipliziere $R$ mit $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + R + R \cdot 1 + R \cdot R)$

Schritt 4.1.4.1.3

Mutltipliziere $R$ mit $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + R + R + R \cdot R)$

Schritt 4.1.4.1.4

Mutltipliziere $R$ mit $R$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + R + R + R^{2})$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $R$ und $R$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + 2 R + R^{2})$

Schritt 4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 R + 110 = 101.7 \cdot 1 + 101.7 (2 R) + 101.7 R^{2}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $101.7$ mit $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 + 101.7 (2 R) + 101.7 R^{2}$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $101.7$ .

$5 R + 110 = 101.7 + 203.4 R + 101.7 R^{2}$

Schritt 4.2

Da $R$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$101.7 + 203.4 R + 101.7 R^{2} = 5 R + 110$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $R$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $5 R$ von beiden Seiten der Gleichung.

$101.7 + 203.4 R + 101.7 R^{2} - 5 R = 110$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5 R$ von $203.4 R$ .

$101.7 + 101.7 R^{2} + 198.4 R = 110$

Schritt 4.4

Subtrahiere $110$ von beiden Seiten der Gleichung.

$101.7 + 101.7 R^{2} + 198.4 R - 110 = 0$

Schritt 4.5

Subtrahiere $110$ von $101.7$ .

$101.7 R^{2} + 198.4 R - 8.3 = 0$

Schritt 4.6

Faktorisiere $0.1$ aus $101.7 R^{2} + 198.4 R - 8.3$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $0.1$ aus $101.7 R^{2}$ heraus.

$0.1 (1017 R^{2}) + 198.4 R - 8.3 = 0$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $0.1$ aus $198.4 R$ heraus.

$0.1 (1017 R^{2}) + 0.1 (1984 R) - 8.3 = 0$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $0.1$ aus $- 8.3$ heraus.

$0.1 (1017 R^{2}) + 0.1 (1984 R) + 0.1 (- 83) = 0$

Schritt 4.6.4

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (1017 R^{2}) + 0.1 (1984 R)$ heraus.

$0.1 (1017 R^{2} + 1984 R) + 0.1 (- 83) = 0$

Schritt 4.6.5

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (1017 R^{2} + 1984 R) + 0.1 (- 83)$ heraus.

$0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83) = 0$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83) = 0$ durch $0.1$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83) = 0$ durch $0.1$ .

$\frac{0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83)}{0.1} = \frac{0}{0.1}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.1$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83)}{0.1} = \frac{0}{0.1}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $1017 R^{2} + 1984 R - 83$ durch $1$ .

$1017 R^{2} + 1984 R - 83 = \frac{0}{0.1}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Dividiere $0$ durch $0.1$ .

$1017 R^{2} + 1984 R - 83 = 0$

Schritt 4.8

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.9

Setze die Werte $a = 1017$ , $b = 1984$ und $c = - 83$ in die Quadratformel ein und löse nach $R$ auf.

$\frac{- 1984 \pm \sqrt{1984^{2} - 4 \cdot (1017 \cdot - 83)}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.1.1

Potenziere $1984$ mit $2$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{3936256 - 4 \cdot 1017 \cdot - 83}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1017 \cdot - 83$ .

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Schritt 4.10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1017$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{3936256 - 4068 \cdot - 83}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4068$ mit $- 83$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{3936256 + 337644}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.1.3

Addiere $3936256$ und $337644$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{4273900}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.1.4

Schreibe $4273900$ als $10^{2} \cdot 42739$ um.

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Schritt 4.10.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $4273900$ heraus.

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{100 (42739)}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 42739}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$R = \frac{- 1984 \pm 10 \sqrt{42739}}{2 \cdot 1017}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1017$ .

$R = \frac{- 1984 \pm 10 \sqrt{42739}}{2034}$

Schritt 4.10.3

Vereinfache $\frac{- 1984 \pm 10 \sqrt{42739}}{2034}$ .

$R = \frac{- 992 \pm 5 \sqrt{42739}}{1017}$

Schritt 4.11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$R = - \frac{992 - 5 \sqrt{42739}}{1017}, - \frac{992 + 5 \sqrt{42739}}{1017}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$R = - \frac{992 - 5 \sqrt{42739}}{1017}, - \frac{992 + 5 \sqrt{42739}}{1017}$

Dezimalform:

$R = 0.04097408 \dots, - 1.99180987 \dots$