Grundlegende Mathematik Beispiele

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $r^{3} = - \frac{1}{27}$ um.

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

Schritt 2

Addiere $\frac{1}{27}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ als ${(\frac{1}{3})}^{3}$ um.

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = r$ und $b = \frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $r$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 3.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Schritt 3.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Schritt 3.5.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 5

Setze $r + \frac{1}{3}$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $r + \frac{1}{3}$ gleich $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ gleich $0$ .

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 6.2

Löse $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $9$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{r}{3}$ in den Zähler.

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.3

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ wahr machen.

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$