Grundlegende Mathematik Beispiele

$103.7 = (\frac{1}{1 + r}) \cdot \frac{30.4}{r}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $(\frac{1}{1 + r}) \cdot \frac{30.4}{r} = 103.7$ um.

$(\frac{1}{1 + r}) \cdot \frac{30.4}{r} = 103.7$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + r}$ mit $\frac{30.4}{r}$ .

$(\frac{1}{1 + r}) \frac{30.4}{r} = 103.7$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + r}$ mit $\frac{30.4}{r}$ .

$\frac{30.4}{(1 + r) r} = 103.7$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(1 + r) r, 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(1 + r) r$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{30.4}{(1 + r) r} = 103.7$ mit $(1 + r) r$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{30.4}{(1 + r) r} = 103.7$ mit $(1 + r) r$ .

$\frac{30.4}{(1 + r) r} ((1 + r) r) = 103.7 ((1 + r) r)$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + r) r$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30.4}{(1 + r) r} ((1 + r) r) = 103.7 ((1 + r) r)$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$30.4 = 103.7 ((1 + r) r)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$30.4 = 103.7 (1 r + r \cdot r)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$30.4 = 103.7 (r + r \cdot r)$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$30.4 = 103.7 (r + r^{2})$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$30.4 = 103.7 r + 103.7 r^{2}$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $103.7 r + 103.7 r^{2} = 30.4$ um.

$103.7 r + 103.7 r^{2} = 30.4$

Schritt 5.2

Subtrahiere $30.4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$103.7 r + 103.7 r^{2} - 30.4 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $0.1$ aus $103.7 r + 103.7 r^{2} - 30.4$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $103.7 r$ heraus.

$0.1 (1037 r) + 103.7 r^{2} - 30.4 = 0$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $103.7 r^{2}$ heraus.

$0.1 (1037 r) + 0.1 (1037 r^{2}) - 30.4 = 0$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $- 30.4$ heraus.

$0.1 (1037 r) + 0.1 (1037 r^{2}) + 0.1 (- 304) = 0$

Schritt 5.3.1.4

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (1037 r) + 0.1 (1037 r^{2})$ heraus.

$0.1 (1037 r + 1037 r^{2}) + 0.1 (- 304) = 0$

Schritt 5.3.1.5

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (1037 r + 1037 r^{2}) + 0.1 (- 304)$ heraus.

$0.1 (1037 r + 1037 r^{2} - 304) = 0$

Schritt 5.3.2

Stelle die Terme um.

$0.1 (1037 r^{2} + 1037 r - 304) = 0$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $0.1 (1037 r^{2} + 1037 r - 304) = 0$ durch $0.1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $0.1 (1037 r^{2} + 1037 r - 304) = 0$ durch $0.1$ .

$\frac{0.1 (1037 r^{2} + 1037 r - 304)}{0.1} = \frac{0}{0.1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.1 (1037 r^{2} + 1037 r - 304)}{0.1} = \frac{0}{0.1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $1037 r^{2} + 1037 r - 304$ durch $1$ .

$1037 r^{2} + 1037 r - 304 = \frac{0}{0.1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $0.1$ .

$1037 r^{2} + 1037 r - 304 = 0$

Schritt 5.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.6

Setze die Werte $a = 1037$ , $b = 1037$ und $c = - 304$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 1037 \pm \sqrt{1037^{2} - 4 \cdot (1037 \cdot - 304)}}{2 \cdot 1037}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1

Potenziere $1037$ mit $2$ .

$r = \frac{- 1037 \pm \sqrt{1075369 - 4 \cdot 1037 \cdot - 304}}{2 \cdot 1037}$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1037 \cdot - 304$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1037$ .

$r = \frac{- 1037 \pm \sqrt{1075369 - 4148 \cdot - 304}}{2 \cdot 1037}$

Schritt 5.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4148$ mit $- 304$ .

$r = \frac{- 1037 \pm \sqrt{1075369 + 1260992}}{2 \cdot 1037}$

Schritt 5.7.1.3

Addiere $1075369$ und $1260992$ .

$r = \frac{- 1037 \pm \sqrt{2336361}}{2 \cdot 1037}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1037$ .

$r = \frac{- 1037 \pm \sqrt{2336361}}{2074}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{1037 - \sqrt{2336361}}{2074}, - \frac{1037 + \sqrt{2336361}}{2074}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = - \frac{1037 - \sqrt{2336361}}{2074}, - \frac{1037 + \sqrt{2336361}}{2074}$

Dezimalform:

$r = 0.23698936 \dots, - 1.23698936 \dots$