Grundlegende Mathematik Beispiele

$\ln (f) = \ln (p \cdot {(1 + r)}^{n})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n}) = \ln (f)$ um.

$\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n}) = \ln (f)$

Schritt 2

Multipliziere $\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n})$ aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n})$ als $\ln (p) + \ln ({(1 + r)}^{n})$ um.

$\ln (p) + \ln ({(1 + r)}^{n})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(1 + r)}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$\ln (p) + n \ln (1 + r)$

Schritt 3

Die ausmultiplizierte Gleichung ist $\ln (p) + n \ln (1 + r) = \ln (f)$ .

$\ln (p) + n \ln (1 + r) = \ln (f)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Stelle $1$ und $r$ um.

$\ln (p) + n \ln (r + 1) = \ln (f)$

Schritt 4.2

Stelle $\ln (p)$ und $n \ln (r + 1)$ um.

$n \ln (r + 1) + \ln (p) = \ln (f)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$n \ln (r + 1) + \ln (p) - \ln (f) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (r + 1) + \ln (\frac{p}{f}) = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $\ln (\frac{p}{f})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (r + 1) = - \ln (\frac{p}{f})$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (r + 1) = - \ln (\frac{p}{f})$ durch $n$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (r + 1) = - \ln (\frac{p}{f})$ durch $n$ .

$\frac{n \ln (r + 1)}{n} = \frac{- \ln (\frac{p}{f})}{n}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (r + 1)}{n} = \frac{- \ln (\frac{p}{f})}{n}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $\ln (r + 1)$ durch $1$ .

$\ln (r + 1) = \frac{- \ln (\frac{p}{f})}{n}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (r + 1) = - \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}$

Schritt 9

Um nach $r$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (r + 1)} = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}}$

Schritt 10

Schreibe $\ln (r + 1) = - \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}} = r + 1$

Schritt 11

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 11.1

Schreibe die Gleichung als $r + 1 = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}}$ um.

$r + 1 = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}}$

Schritt 11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}} - 1$