Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{- \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{35 \sqrt{35 - p^{2}}} = 2$

Schritt 1

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 1.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$2 \cdot (35 \sqrt{35 - p^{2}}) = - \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $2 \cdot (35 \sqrt{35 - p^{2}})$ .

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Schritt 1.2.1.1

Entferne die Klammern.

$2 \cdot (35 \sqrt{35 - p^{2}}) = - \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $35$ mit $2$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache $- \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{2} \cdot \frac{1}{{(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{{(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{p}{2}$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{{(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(70 \sqrt{35 - p^{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35 - p^{2}}$ als ${(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(70 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(70 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $70 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$70^{2} {({(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $70$ mit $2$ .

$4900 {({(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4900 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4900 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4900 {(35 - p^{2})}^{1} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$4900 (35 - p^{2}) = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4900 \cdot 35 + 4900 (- p^{2}) = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.6.1

Mutltipliziere $4900$ mit $35$ .

$171500 + 4900 (- p^{2}) = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4900$ .

$171500 - 4900 p^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ an.

$171500 - 4900 p^{2} = {(- 1)}^{2} {(\frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ an.

$171500 - 4900 p^{2} = {(- 1)}^{2} \frac{p^{2}}{{(2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$171500 - 4900 p^{2} = {(- 1)}^{2} \frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$171500 - 4900 p^{2} = 1 \frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ mit $1$ .

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {(32 - p^{2})}^{1}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Vereinfache.

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})}$

Schritt 4

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $171500$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} - 171500$

Schritt 4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 4 (32 - p^{2}), 1$

Schritt 4.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 (32 - p^{2})$

Schritt 4.3

Multipliziere jeden Term in $- 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} - 171500$ mit $4 (32 - p^{2})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jeden Term in $- 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} - 171500$ mit $4 (32 - p^{2})$ .

$- 4900 p^{2} (4 (32 - p^{2})) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4900 p^{2} (4 \cdot 32 + 4 (- p^{2})) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$- 4900 p^{2} (128 + 4 (- p^{2})) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4900 p^{2} (128 - 4 p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4900 p^{2} \cdot 128 - 4900 p^{2} (- 4 p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $128$ mit $- 4900$ .

$- 627200 p^{2} - 4900 p^{2} (- 4 p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 p^{2} p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.2.1

Multipliziere $p^{2}$ mit $p^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Bewege $p^{2}$ .

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 (p^{2} p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 p^{2 + 2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 p^{4} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $- 4900$ mit $- 4$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = 4 \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = 4 \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = \frac{p^{2}}{32 - p^{2}} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32 - p^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = \frac{p^{2}}{32 - p^{2}} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (4 \cdot 32 + 4 (- p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (128 + 4 (- p^{2}))$

Schritt 4.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (128 - 4 p^{2})$

Schritt 4.3.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 \cdot 128 - 171500 (- 4 p^{2})$

Schritt 4.3.3.1.8

Mutltipliziere $- 171500$ mit $128$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 21952000 - 171500 (- 4 p^{2})$

Schritt 4.3.3.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 171500$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 21952000 + 686000 p^{2}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $p^{2}$ und $686000 p^{2}$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = 686001 p^{2} - 21952000$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Subtrahiere $686001 p^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} - 686001 p^{2} = - 21952000$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $21952000$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} - 686001 p^{2} + 21952000 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $686001 p^{2}$ von $- 627200 p^{2}$ .

$19600 p^{4} - 1313201 p^{2} + 21952000 = 0$

Schritt 4.4.3

Setze $u = p^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$19600 u^{2} - 1313201 u + 21952000 = 0$

$u = p^{2}$

Schritt 4.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4.5

Setze die Werte $a = 19600$ , $b = - 1313201$ und $c = 21952000$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1313201 \pm \sqrt{{(- 1313201)}^{2} - 4 \cdot (19600 \cdot 21952000)}}{2 \cdot 19600}$

Schritt 4.4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.6.1.1

Potenziere $- 1313201$ mit $2$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{1724496866401 - 4 \cdot 19600 \cdot 21952000}}{2 \cdot 19600}$

Schritt 4.4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 19600 \cdot 21952000$ .

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Schritt 4.4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $19600$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{1724496866401 - 78400 \cdot 21952000}}{2 \cdot 19600}$

Schritt 4.4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 78400$ mit $21952000$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{1724496866401 - 1721036800000}}{2 \cdot 19600}$

Schritt 4.4.6.1.3

Subtrahiere $1721036800000$ von $1724496866401$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{3460066401}}{2 \cdot 19600}$

Schritt 4.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $19600$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{3460066401}}{39200}$

Schritt 4.4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1313201 + \sqrt{3460066401}}{39200}, \frac{1313201 - \sqrt{3460066401}}{39200}$

Schritt 4.4.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = p^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$p^{2} = 35.00059513$

${(p^{2})}^{1} = 31.99945589$

Schritt 4.4.9

Löse die erste Gleichung nach $p$ auf.

$p^{2} = 35.00059513$

Schritt 4.4.10

Löse die Gleichung nach $p$ auf.

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Schritt 4.4.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{35.00059513}$

Schritt 4.4.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$p = \sqrt{35.00059513}$

Schritt 4.4.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$p = - \sqrt{35.00059513}$

Schritt 4.4.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$p = \sqrt{35.00059513}, - \sqrt{35.00059513}$

Schritt 4.4.11

Löse die zweite Gleichung nach $p$ auf.

${(p^{2})}^{1} = 31.99945589$

Schritt 4.4.12

Löse die Gleichung nach $p$ auf.

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Schritt 4.4.12.1

Entferne die Klammern.

$p^{2} = 31.99945589$

Schritt 4.4.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{31.99945589}$

Schritt 4.4.12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$p = \sqrt{31.99945589}$

Schritt 4.4.12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$p = - \sqrt{31.99945589}$

Schritt 4.4.12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$p = \sqrt{31.99945589}, - \sqrt{31.99945589}$

Schritt 4.4.13

Die Lösung von $19600 p^{4} - 1313201 p^{2} + 21952000 = 0$ ist $p = \sqrt{35.00059513}, - \sqrt{35.00059513}, \sqrt{31.99945589}, - \sqrt{31.99945589}$ .

$p = \sqrt{35.00059513}, - \sqrt{35.00059513}, \sqrt{31.99945589}, - \sqrt{31.99945589}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{- \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{35 \sqrt{35 - p^{2}}} = 2$ nicht erfüllen.

$p = - \sqrt{31.99945589}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$p = - \sqrt{31.99945589}$

Dezimalform:

$p = - 5.65680615 \dots$