Grundlegende Mathematik Beispiele

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ durch $b^{r - p}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ durch $b^{r - p}$ .

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b^{r - p}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ durch $1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ als $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ um.

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (a^{q - r})$ durch Herausziehen von $q - r$ aus dem Logarithmus.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (c^{p - q})$ durch Herausziehen von $p - q$ aus dem Logarithmus.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Schritt 4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 4.1

Schreibe $\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ als $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ um.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln (b^{r - p})$ durch Herausziehen von $r - p$ aus dem Logarithmus.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Schritt 4.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Schritt 4.4

Subtrahiere $(r - p) \ln (b)$ von $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Schritt 4.5

Entferne die Klammern.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Vereinfache $- (r - p) \ln (b)$ .

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- - p$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Schritt 7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1

Bewege $- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Schritt 7.2

Stelle $q \ln (a)$ und $p \ln (c)$ um.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Schritt 8

Stelle $- r \ln (b)$ und $p \ln (b)$ um.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Schritt 10

Bringe alle Terme, die nicht $q$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $p \ln (c)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Schritt 10.2

Addiere $r \ln (a)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Schritt 10.3

Addiere $p \ln (b)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Schritt 10.4

Subtrahiere $r \ln (b)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Schritt 11

Faktorisiere $q$ aus $q \ln (a) - q \ln (c)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $q$ aus $q \ln (a)$ heraus.

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $q$ aus $- q \ln (c)$ heraus.

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Schritt 11.3

Faktorisiere $q$ aus $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ heraus.

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Schritt 12

Schreibe $- 1 \ln (c)$ als $- \ln (c)$ um.

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ durch $\ln (a) - \ln (c)$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ durch $\ln (a) - \ln (c)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (a) - \ln (c)$ .

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $q$ durch $1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- p \ln (c)$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $r \ln (a)$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $p \ln (b)$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- r \ln (b)$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ heraus.

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.2.11.1

Schreibe $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ als $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ um.

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Schritt 13.3.2.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$