Grundlegende Mathematik Beispiele

$25000 = 400 (\frac{1 - {(1.0025)}^{- n}}{0.0025}) (1.0025)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025 = 25000$ um.

$400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2

Vereinfache $400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.0025$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $0.0025$ aus $400$ heraus.

$0.0025 (160000) \frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025} \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.0025 \cdot 160000 \frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025} \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$160000 (1 - {1.0025}^{- n}) \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(160000 \cdot 1 + 160000 (- {1.0025}^{- n})) \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.3

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $160000$ mit $1$ .

$(160000 + 160000 (- {1.0025}^{- n})) \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $160000$ .

$(160000 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n}) \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$160000 \cdot 1.0025 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n} \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $160000$ mit $1.0025$ .

$160400 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n} \cdot 1.0025 = 25000$

Schritt 2.6

Multipliziere ${1.0025}^{- n}$ mit $1.0025$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Bewege $1.0025$ .

$160400 - 160000 \cdot (1.0025 \cdot {1.0025}^{- n}) = 25000$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $1.0025$ mit ${1.0025}^{- n}$ .

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Schritt 2.6.2.1

Potenziere $1.0025$ mit $1$ .

$160400 - 160000 \cdot ({1.0025}^{1} \cdot {1.0025}^{- n}) = 25000$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$160400 - 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = 25000$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $160400$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = 25000 - 160400$

Schritt 3.2

Subtrahiere $160400$ von $25000$ .

$- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$ durch $- 160000$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$ durch $- 160000$ .

$\frac{- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n}}{- 160000} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 160000$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n}}{- 160000} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${1.0025}^{1 - n}$ durch $1$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 135400$ und $- 160000$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $- 200$ aus $- 135400$ heraus.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 (677)}{- 160000}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $- 200$ aus $- 160000$ heraus.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 \cdot 677}{- 200 \cdot 800}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 \cdot 677}{- 200 \cdot 800}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{677}{800}$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.0025}^{1 - n}) = \ln (\frac{677}{800})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({1.0025}^{1 - n})$ durch Herausziehen von $1 - n$ aus dem Logarithmus.

$(1 - n) \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Schritt 7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1

Vereinfache $(1 - n) \ln (1.0025)$ .

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (1.0025) - n \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $\ln (1.0025)$ mit $1$ .

$\ln (1.0025) - n \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Schritt 8

Stelle $\ln (1.0025)$ und $- n \ln (1.0025)$ um.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025) - \ln (\frac{677}{800}) = 0$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1.0025}{\frac{677}{800}}) = 0$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025 (\frac{800}{677})) = 0$

Schritt 11.2

Multipliziere $1.0025 (\frac{800}{677})$ .

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $1.0025$ und $\frac{800}{677}$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1.0025 \cdot 800}{677}) = 0$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $1.0025$ mit $800$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{802}{677}) = 0$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $802$ und $677$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $802$ als $1 (802)$ um.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 (802)}{677}) = 0$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Schreibe $677$ als $1 (677)$ um.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 \cdot 802}{1 \cdot 677}) = 0$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 \cdot 802}{1 \cdot 677}) = 0$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{802}{677}) = 0$

Schritt 12

Subtrahiere $\ln (\frac{802}{677})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$ durch $- \ln (1.0025)$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$ durch $- \ln (1.0025)$ .

$\frac{- n \ln (1.0025)}{- \ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{n \ln (1.0025)}{\ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.0025)$ .

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Schritt 13.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.0025)}{\ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Schritt 13.2.2.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$n = \frac{\ln (\frac{802}{677})}{\ln (1.0025)}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = \frac{\ln (\frac{802}{677})}{\ln (1.0025)}$

Dezimalform:

$n = 67.85961739 \dots$