Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{15 - 4 y} - 2 y = 0$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{15 - 4 y} = 2 y$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{15 - 4 y}}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15 - 4 y}$ als ${(15 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(15 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(15 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(15 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(15 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(15 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(15 - 4 y)}^{1} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$15 - 4 y = {(2 y)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 y)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$15 - 4 y = 2^{2} y^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$15 - 4 y = 4 y^{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 - 4 y - 4 y^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $15 - 4 y - 4 y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $15$ .

$- 4 y - 4 y^{2} + 15 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $- 4 y$ und $- 4 y^{2}$ um.

$- 4 y^{2} - 4 y + 15 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$- (4 y^{2}) - 4 y + 15 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y$ heraus.

$- (4 y^{2}) - (4 y) + 15 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $15$ als $- 1 (- 15)$ um.

$- (4 y^{2}) - (4 y) - 1 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 y^{2}) - (4 y)$ heraus.

$- (4 y^{2} + 4 y) - 1 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 y^{2} + 4 y) - 1 (- 15)$ heraus.

$- (4 y^{2} + 4 y - 15) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$- (4 y^{2} + 4 (y) - 15) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 6$ plus $10$

$- (4 y^{2} + (- 6 + 10) y - 15) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 y^{2} - 6 y + 10 y - 15) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((4 y^{2} - 6 y) + 10 y - 15) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 y (2 y - 3) + 5 (2 y - 3)) = 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 y - 3$ .

$- ((2 y - 3) (2 y + 5)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 y - 3) (2 y + 5) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y - 3 = 0$

$2 y + 5 = 0$

Schritt 4.4

Setze $2 y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $2 y - 3$ gleich $0$ .

$2 y - 3 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $2 y - 3 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 3$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 4.5

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $2 y + 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 5$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 y - 3) (2 y + 5) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{3}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{15 - 4 y} - 2 y = 0$ nicht erfüllen.

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$y = 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = 1 \frac{1}{2}$