Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}}^{4} = {(- y)}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}$ als ${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- y)}^{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y^{2} - 3)}^{1} = {(- y)}^{4}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 y^{2} - 3 = {(- y)}^{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(- y)}^{4}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$4 y^{2} - 3 = {(- 1)}^{4} y^{4}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$4 y^{2} - 3 = 1 y^{4}$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$4 y^{2} - 3 = y^{4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 3 - y^{4} = 0$

Schritt 3.2

Setze $u = y^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- u^{2} + 4 u - 3 = 0$

$u = y^{2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 4 u - 3$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) + 4 u - 3 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $4 u$ heraus.

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 3 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - (- 4 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 4 u) - 1 (3)$ heraus.

$- (u^{2} - 4 u + 3) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 4 u + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 3) (u - 1)) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 3) (u - 1) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 3.5

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 3.6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 3) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 3, 1$

Schritt 3.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = y^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$y^{2} = 3$

${(y^{2})}^{1} = 1$

Schritt 3.9

Löse die erste Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 3$

Schritt 3.10

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{3}$

Schritt 3.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 3.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3.11

Löse die zweite Gleichung nach $y$ auf.

${(y^{2})}^{1} = 1$

Schritt 3.12

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.12.1

Entferne die Klammern.

$y^{2} = 1$

Schritt 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.12.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm 1$

Schritt 3.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 1$

Schritt 3.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 1$

Schritt 3.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 1, - 1$

Schritt 3.13

Die Lösung von $- y^{4} + 4 y^{2} - 3 = 0$ ist $y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$ .

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$ nicht erfüllen.

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Dezimalform:

$y = - 1.73205080 \dots, - 1$