Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

Schritt 1

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 1.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ .

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Schritt 1.2.1.1

Mutltipliziere $\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ mit $1$ .

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $6^{y}$ und $6^{y}$ .

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Schritt 1.2.1.3

Addiere $2 \cdot 6^{y}$ und $6^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache $\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ .

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Schritt 1.3.1.1

Addiere $3^{y}$ und $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $2 \cdot 3^{y}$ und $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3^{y}$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Schritt 1.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

Schritt 1.3.1.4

Bringe $64$ auf die linke Seite von $\sqrt{3^{1 + y}}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ als ${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $64 \sqrt{3^{1 + y}}$ an.

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Potenziere $64$ mit $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ als $3^{1 + y}$ um.

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Schritt 3.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3^{1 + y}}$ als $3^{\frac{1 + y}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1 + y}{2}$ und $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4.2

Dividiere $1 + y$ durch $1$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Schritt 4.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\ln (3 \cdot 6^{y})$ als $\ln (3) + \ln (6^{y})$ um.

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Schritt 4.2.2

Zerlege $\ln (6^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Schritt 4.3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ als $\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ um.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

Schritt 4.3.2

Zerlege $\ln (3^{1 + y})$ durch Herausziehen von $1 + y$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

Schritt 4.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

Schritt 4.4.1.3

Mutltipliziere $4096$ mit $3$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Schritt 4.5

Stelle $\ln (3)$ und $y \ln (6)$ um.

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Schritt 4.6

Stelle $\ln (12288)$ und $y \ln (3)$ um.

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

Schritt 4.7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

Schritt 4.8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12288$ .

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

Schritt 4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12288$ heraus.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Schritt 4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

Schritt 4.10

Subtrahiere $\ln (\frac{1}{4096})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Schritt 4.11

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (6) - y \ln (3)$ heraus.

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (6)$ heraus.

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Schritt 4.11.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (3)$ heraus.

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Schritt 4.11.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ heraus.

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Schritt 4.12

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Schritt 4.13

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ durch $\ln (6) - \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ durch $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 4.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (6) - \ln (3)$ .

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Schritt 4.13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 4.13.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 4.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.13.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Dezimalform:

$y = 12$