Grundlegende Mathematik Beispiele

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$| y - 1 | y = \frac{2}{y} y$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Stelle die Faktoren in $| y - 1 | y$ um.

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y | y - 1 | = 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $y | y - 1 | = 2$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $y | y - 1 | = 2$ durch $y$ .

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $| y - 1 |$ durch $1$ .

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Schritt 3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm \frac{2}{y}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 1 = \frac{2}{y}$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2}{y} + 1$

Schritt 3.3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1$

Schritt 3.3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3.4

Multipliziere jeden Term in $y = \frac{2}{y} + 1$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.4.1

Multipliziere jeden Term in $y = \frac{2}{y} + 1$ mit $y$ .

$y \cdot y = \frac{2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 + 1 y$

Schritt 3.3.4.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 + y$

Schritt 3.3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y = 2$

Schritt 3.3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - 2 = 0$

Schritt 3.3.5.3

Faktorisiere $y^{2} - y - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 3.3.5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y - 2) (y + 1) = 0$

Schritt 3.3.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Schritt 3.3.5.5

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.5.5.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 3.3.5.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 3.3.5.6

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.5.6.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 3.3.5.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 3.3.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 2) (y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 1$

Schritt 3.3.6

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 1 = - \frac{2}{y}$

Schritt 3.3.7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2}{y} + 1$

Schritt 3.3.8

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.8.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1$

Schritt 3.3.8.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3.9

Multipliziere jeden Term in $y = - \frac{2}{y} + 1$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.9.1

Multipliziere jeden Term in $y = - \frac{2}{y} + 1$ mit $y$ .

$y \cdot y = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.9.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.9.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{y}$ in den Zähler.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.9.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Schritt 3.3.9.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = - 2 + 1 y$

Schritt 3.3.9.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} = - 2 + y$

Schritt 3.3.10

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.10.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y = - 2$

Schritt 3.3.10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y + 2 = 0$

Schritt 3.3.10.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.10.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.10.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 3.3.10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 3.3.10.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 3.3.11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$