Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8} = 3 u$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8}}^{2} = {(3 u)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8}$ als ${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 u)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 u)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 u)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{1} = {(3 u)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$10 u^{2} - 4 u - 8 = {(3 u)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(3 u)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 u$ an.

$10 u^{2} - 4 u - 8 = 3^{2} u^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$10 u^{2} - 4 u - 8 = 9 u^{2}$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $u$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $9 u^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 u^{2} - 4 u - 8 - 9 u^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $9 u^{2}$ von $10 u^{2}$ .

$u^{2} - 4 u - 8 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $16$ und $32$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$u = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8} = 3 u$ nicht erfüllen.

$u = 2 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$u = 2 + 2 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$u = 5.46410161 \dots$