Grundlegende Mathematik Beispiele

$1000 = \frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$ um.

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ .

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ .

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Schritt 3.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1.1.2.1

Dividiere $0.1$ durch $12$ .

${(1 + 0.008\overline{3})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.1.2.2

Addiere $1$ und $0.008\overline{3}$ .

${1.008\overline{3}}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.1.2.3

Potenziere $1.008\overline{3}$ mit $12$ .

$1.10471306 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.2.1

Dividiere $0.1$ durch $12$ .

$1.10471306 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.2.2

Addiere $1$ und $0.008\overline{3}$ .

$1.10471306 (1 - {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1.10471306 \cdot 1 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.3.2

Multipliziere.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $1.10471306$ mit $1$ .

$1.10471306 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Dividiere $0.1$ durch $12$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12})$

Schritt 3.2.1.1.2

Addiere $1$ und $0.008\overline{3}$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {1.008\overline{3}}^{12})$

Schritt 3.2.1.1.3

Potenziere $1.008\overline{3}$ mit $12$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1 \cdot 1.10471306)$

Schritt 3.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1.10471306)$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.1

Subtrahiere $1.10471306$ von $1$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 \cdot - 0.10471306$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $1000$ mit $- 0.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744$

Schritt 4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $1.10471306$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744 - 1.10471306$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1.10471306$ von $- 104.71306744$ .

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ durch $- 1.10471306$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ durch $- 1.10471306$ .

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1.10471306$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere ${1.008\overline{3}}^{12 t}$ durch $1$ .

${1.008\overline{3}}^{12 t} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 105.8177805$ durch $- 1.10471306$ .

${1.008\overline{3}}^{12 t} = 95.7875702$

Schritt 4.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t}) = \ln (95.7875702)$

Schritt 4.4

Zerlege $\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t})$ durch Herausziehen von $12 t$ aus dem Logarithmus.

$12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ durch $12 \ln (1.008\overline{3})$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ durch $12 \ln (1.008\overline{3})$ .

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Schritt 4.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.008\overline{3})$ .

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Schritt 4.5.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Dezimalform:

$t = 45.81115524 \dots$