Grundlegende Mathematik Beispiele

$4 \cdot 3^{x} = 5^{2 x - 1}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 \cdot 3^{x}) = \ln (5^{2 x - 1})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (4 \cdot 3^{x})$ als $\ln (4) + \ln (3^{x})$ um.

$\ln (4) + \ln (3^{x}) = \ln (5^{2 x - 1})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + x \ln (3) = \ln (5^{2 x - 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{2 x - 1})$ durch Herausziehen von $2 x - 1$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + x \ln (3) = (2 x - 1) \ln (5)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(2 x - 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (4) + x \ln (3) = 2 x \ln (5) - 1 \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$\ln (4) + x \ln (3) = 2 x \ln (5) - \ln (5)$

Schritt 5

Stelle $\ln (4)$ und $x \ln (3)$ um.

$x \ln (3) + \ln (4) = 2 x \ln (5) - \ln (5)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (3) + \ln (4) - 2 x \ln (5) + \ln (5) = 0$

Schritt 7

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (5) + \ln (4 \cdot 5) = 0$

Schritt 8

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (5) + \ln (20) = 0$

Schritt 9

Subtrahiere $\ln (20)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (5) = - \ln (20)$

Schritt 10

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - 2 x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (5) = - \ln (20)$

Schritt 10.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (5)) = - \ln (20)$

Schritt 10.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (3) - 2 \ln (5)) = - \ln (20)$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (5)) = - \ln (20)$ durch $\ln (3) - 2 \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (5)) = - \ln (20)$ durch $\ln (3) - 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (5))}{\ln (3) - 2 \ln (5)} = \frac{- \ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - 2 \ln (5)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (5))}{\ln (3) - 2 \ln (5)} = \frac{- \ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 1.41290562 \dots$