Grundlegende Mathematik Beispiele

$4 w^{4} + 40 w^{2} - 44 = 0$

Schritt 1

Setze $u = w^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} + 40 u - 44 = 0$

$u = w^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{2} + 40 u - 44$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{2}$ heraus.

$4 (u^{2}) + 40 u - 44 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $40 u$ heraus.

$4 (u^{2}) + 4 (10 u) - 44 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 44$ heraus.

$4 u^{2} + 4 (10 u) + 4 \cdot - 11 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{2} + 4 (10 u)$ heraus.

$4 (u^{2} + 10 u) + 4 \cdot - 11 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (u^{2} + 10 u) + 4 \cdot - 11$ heraus.

$4 (u^{2} + 10 u - 11) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $u^{2} + 10 u - 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 11$ und deren Summe $10$ ist.

$- 1, 11$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (u - 1) (u + 11) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 11 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 5

Setze $u + 11$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u + 11$ gleich $0$ .

$u + 11 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 11$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (u - 1) (u + 11) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 11$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = w^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$w^{2} = 1$

${(w^{2})}^{1} = - 11$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $w$ auf.

$w^{2} = 1$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $w$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{1}$

Schritt 9.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$w = \pm 1$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$w = 1$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$w = - 1$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$w = 1, - 1$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $w$ auf.

${(w^{2})}^{1} = - 11$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $w$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$w^{2} = - 11$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{- 11}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 11}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$w = \pm \sqrt{- 1 (11)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$w = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$w = \pm i \sqrt{11}$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$w = i \sqrt{11}$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$w = - i \sqrt{11}$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$w = i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Schritt 12

Die Lösung von $4 w^{4} + 40 w^{2} - 44 = 0$ ist $w = 1, - 1, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$ .

$w = 1, - 1, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$