Grundlegende Mathematik Beispiele

$(3 - \frac{9 m - 1}{m + 3 m^{2}}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 1

Faktorisiere $m$ aus $m + 3 m^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Potenziere $m$ mit $1$ .

$(3 - \frac{9 m - 1}{m^{1} + 3 m^{2}}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 1.2

Faktorisiere $m$ aus $m^{1}$ heraus.

$(3 - \frac{9 m - 1}{m \cdot 1 + 3 m^{2}}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 1.3

Faktorisiere $m$ aus $3 m^{2}$ heraus.

$(3 - \frac{9 m - 1}{m \cdot 1 + m (3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 1.4

Faktorisiere $m$ aus $m \cdot 1 + m (3 m)$ heraus.

$(3 - \frac{9 m - 1}{m (1 + 3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{m (1 + 3 m)}{m (1 + 3 m)}$ .

$(3 \cdot \frac{m (1 + 3 m)}{m (1 + 3 m)} - \frac{9 m - 1}{m (1 + 3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{m (1 + 3 m)}{m (1 + 3 m)}$ .

$(\frac{3 (m (1 + 3 m))}{m (1 + 3 m)} - \frac{9 m - 1}{m (1 + 3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (m (1 + 3 m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (m \cdot 1 + m (3 m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $m$ mit $1$ .

$\frac{3 (m + m (3 m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 (m + 3 m \cdot m) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.4

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $m$ .

$\frac{3 (m + 3 (m \cdot m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$\frac{3 (m + 3 m^{2}) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 m + 3 (3 m^{2}) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 m + 9 m^{2} - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 m + 9 m^{2} - (9 m) - - 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{3 m + 9 m^{2} - 9 m - - 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 m + 9 m^{2} - 9 m + 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.10

Subtrahiere $9 m$ von $3 m$ .

$\frac{9 m^{2} - 6 m + 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.11

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.11.1

Schreibe $9 m^{2}$ als ${(3 m)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 m)}^{2} - 6 m + 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.11.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(3 m)}^{2} - 6 m + 1^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.11.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 m = 2 \cdot (3 m) \cdot 1$

Schritt 4.11.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{{(3 m)}^{2} - 2 \cdot (3 m) \cdot 1 + 1^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 4.11.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 m$ und $b = 1$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $9 m - 3$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 m$ heraus.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m) - 3})$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m) + 3 (- 1)})$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 m) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m - 1)})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)}$ mit $m + 1 + \frac{4}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m - 1)})}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Um $m$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (m \cdot \frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)} + \frac{4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.2

Kombiniere $m$ und $\frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{m (3 (3 m - 1))}{3 (3 m - 1)} + \frac{4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{m (3 (3 m - 1)) + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 m (3 m - 1) + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 m (3 m) + 3 m \cdot - 1 + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 m \cdot m + 3 m \cdot - 1 + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 m \cdot m - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.5.1

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.5.1.1

Bewege $m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 (m \cdot m) - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4.5.1.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 m^{2} - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{9 m^{2} - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{9 m^{2} - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + \frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)})}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 3 (3 m) + 3 \cdot - 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 9 m + 3 \cdot - 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 9 m - 3}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.4

Addiere $- 3 m$ und $9 m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} + 6 m + 4 - 3}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.5

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} + 6 m + 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.7.6.1

Schreibe $9 m^{2}$ als ${(3 m)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m)}^{2} + 6 m + 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m)}^{2} + 6 m + 1^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.6.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 m = 2 \cdot (3 m) \cdot 1$

Schritt 6.7.6.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m)}^{2} + 2 \cdot (3 m) \cdot 1 + 1^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 6.7.6.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 3 m$ und $b = 1$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere ${(3 m - 1)}^{2}$ und $\frac{{(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{\frac{{(3 m - 1)}^{2} {(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(3 m - 1)}^{2} {(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $3 m - 1$ aus ${(3 m - 1)}^{2} {(3 m + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{(3 m - 1) ((3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2})}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $3 m - 1$ aus $3 (3 m - 1)$ heraus.

$\frac{\frac{(3 m - 1) ((3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2})}{(3 m - 1) \cdot 3}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(3 m - 1) ((3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2})}{(3 m - 1) \cdot 3}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2}}{3}}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2}}{3} \cdot \frac{1}{m (1 + 3 m)}$

Schritt 9

Kombinieren.

$\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2} \cdot 1}{3 (m (1 + 3 m))}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 m + 1)}^{2}$ und $1 + 3 m$ .

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Schritt 10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2} \cdot 1}{3 (m (3 m + 1))}$

Schritt 10.2

Faktorisiere $3 m + 1$ aus $(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{(3 m + 1) (((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1)}{3 (m (3 m + 1))}$

Schritt 10.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $3 m + 1$ aus $3 (m (3 m + 1))$ heraus.

$\frac{(3 m + 1) (((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1)}{(3 m + 1) (3 (m))}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 m + 1) (((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1)}{(3 m + 1) (3 (m))}$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1}{3 (m)}$

Schritt 11

Mutltipliziere $3 m - 1$ mit $1$ .

$\frac{(3 m - 1) (3 m + 1)}{3 m}$