Grundlegende Mathematik Beispiele

$20 x^{2} - 9 x \geq 20$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$20 x^{2} - 9 x = 20$

Schritt 2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 20 \cdot - 20 = - 400$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 9$ um als $16$ plus $- 25$

$20 x^{2} + (16 - 25) x - 20 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$20 x^{2} + 16 x - 25 x - 20 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(20 x^{2} + 16 x) - 25 x - 20 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 4$ .

$(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Schritt 5

Setze $5 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $5 x + 4$ gleich $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $5 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{5}$

Schritt 6

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $4 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{4}{5}$

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{4}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{4}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$20 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 \geq 20$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $207$ ist größer als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$20 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \geq 20$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$20 {(4)}^{2} - 9 \cdot 4 \geq 20$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $284$ ist größer als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{4}{5}$ Wahr

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Falsch

$x > \frac{5}{4}$ Wahr

$x < - \frac{4}{5}$ Wahr

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Falsch

$x > \frac{5}{4}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{4}{5}$ oder $x \geq \frac{5}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{4}{5} or x \geq \frac{5}{4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{4}{5}] \cup [\frac{5}{4}, \infty)$

Schritt 12