Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$ mit $\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)} \cdot \frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1})}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $a + 1$ aus $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2} - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $a^{2} - 1$ aus $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 1$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{a + 1}$ in den Zähler.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{- 1}{a + 1}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $a + 1$ aus $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $(a^{2} - 1) a$ aus $(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $(a^{2} - 1) a$ aus $(a - 1) (a^{2} - 1) a$ heraus.

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $(a^{2} - 1) a$ aus $(a + 1) (a^{2} - 1) a$ heraus.

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $(a^{2} - 1) a$ aus $(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)$ heraus.

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(a^{2} - 1^{2}) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.4

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a - 1 + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a + 0)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.6

Addiere $2 a$ und $0$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a \cdot 2 a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a^{1})}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{1 + 1}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a + 1) (a - 1) a$ heraus.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)$ heraus.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a \cdot a + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + a^{2} \cdot - 1 - 1 \cdot - 1)}$

Schritt 5.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} - 1 \cdot - 1)}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} + 1)}$

Schritt 5.8

Schreibe $- 1 a^{2}$ als $- a^{2}$ um.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - a^{2} + 1)}$

Schritt 5.9

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 0 + 1)}$

Schritt 5.10

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 1$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 1$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $2 a^{2}$ durch $1$ .

$2 a^{2}$