Grundlegende Mathematik Beispiele

${(1 + \frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1^{2} \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere $3 \frac{2 i}{n}$ .

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{3 (2 i)}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 i}{n}$ an.

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{{(2 i)}^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{2^{2} i^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{4 i^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.7.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{4 \cdot - 1}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{- 4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 (- \frac{4}{n^{2}}) + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.10

Multipliziere $3 (- \frac{4}{n^{2}})$ .

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - 3 \frac{4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{n^{2}}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + \frac{- 3 \cdot 4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + \frac{- 12}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Schritt 2.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.12.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 i}{n}$ an.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{{(2 i)}^{3}}{n^{3}}$

Schritt 2.12.2

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{2^{3} i^{3}}{n^{3}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 i^{3}}{n^{3}}$

Schritt 2.13.2

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 (i^{2} \cdot i)}{n^{3}}$

Schritt 2.13.3

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 (- 1 \cdot i)}{n^{3}}$

Schritt 2.13.4

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 \cdot - 1 i}{n^{3}}$

Schritt 2.13.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.13.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{- (8 i)}{n^{3}}$

Schritt 2.13.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{- 8 i}{n^{3}}$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} - \frac{8 i}{n^{3}}$