Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z^{2} - 9}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{z^{2} - 3^{2}}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 z + 75$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25 z$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z) + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 z + 25 \cdot 3} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $25$ aus $25 z + 25 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $125$ aus $125 z + 375$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $125$ aus $125 z$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z) + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $125$ aus $375$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 z + 125 \cdot 3}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $125$ aus $125 z + 125 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 z^{2} - 30 z + 45$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 z^{2}$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2}) - 30 z + 45}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 30 z$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2}) + 5 (- 6 z) + 45}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 z^{2} + 5 (- 6 z) + 5 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 z^{2} + 5 (- 6 z)$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z) + 5 \cdot 9}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (z^{2} - 6 z) + 5 \cdot 9$ heraus.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z + 9)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z + 3^{2})}$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 z = 2 \cdot z \cdot 3$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^{2})}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = z$ und $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 {(z - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{(z + 3) (z - 3) (125 (z + 3))}{25 (z + 3) (5 {(z - 3)}^{2})}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 3$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z + 3) (z - 3) (125 (z + 3))}{25 (z + 3) (5 {(z - 3)}^{2})}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{25 (5 {(z - 3)}^{2})}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $z - 3$ aus $25 (5 {(z - 3)}^{2})$ heraus.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{(z - 3) (25 (5 (z - 3)))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{(z - 3) (25 (5 (z - 3)))}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{125 (z + 3)}{25 (5 (z - 3))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $125$ und $25$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $25$ aus $125 (z + 3)$ heraus.

$\frac{25 (5 (z + 3))}{25 (5 (z - 3))}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (5 (z + 3))}{25 (5 (z - 3))}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (z + 3)}{5 (z - 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (z + 3)}{5 (z - 3)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z + 3}{z - 3}$