Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{10 a + 8 - 3 a^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 a^{2} + 10 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10 a$ heraus.

$\frac{- 3 a^{2} + 10 (a) + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $10$ um als $- 2$ plus $12$

$\frac{- 3 a^{2} + (- 2 + 12) a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 a^{2} - 2 a + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 a^{2} - 2 a) + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{a (- 3 a - 2) - 4 (- 3 a - 2)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 a - 2$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{2} - a - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $9 a$ aus $9 a^{3} - 81 a$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9 a$ aus $9 a^{3}$ heraus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $9 a$ aus $- 81 a$ heraus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $9 a$ aus $9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)$ heraus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 3^{2})}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 3$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 a$ heraus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 (a) - 6}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 7$ um als $2$ plus $- 9$

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + (2 - 9) a - 6}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + 2 a - 9 a - 6}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a^{2} + 2 a) - 9 a - 6}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{a (3 a + 2) - 3 (3 a + 2)}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 a + 2$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 3$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a + 3$ aus $(a - 4) (a + 3)$ heraus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $a + 3$ aus $9 a (a + 3) (a - 3)$ heraus.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4} \cdot \frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4}$ mit $\frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 3$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 a - 2$ und $3 a + 2$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 a$ heraus.

$\frac{(- (3 a) - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Schritt 9.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- (3 a) - 1 (2)) (9 a)}{3 a + 2}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 a) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Schritt 9.4

Schreibe $- (3 a + 2)$ als $- 1 (3 a + 2)$ um.

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Schritt 9.6

Dividiere $- 1 (9 a)$ durch $1$ .

$- 1 (9 a)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Schreibe $- 1 (9 a)$ als $- (9 a)$ um.

$- (9 a)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 9 a$