Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{2 t^{2} - 5 t - 12}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 t$ heraus.

$\frac{2 t^{2} - 5 (t) - 12}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $3$ plus $- 8$

$\frac{2 t^{2} + (3 - 8) t - 12}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} + 3 t - 8 t - 12}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 t^{2} + 3 t) - 8 t - 12}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{t (2 t + 3) - 4 (2 t + 3)}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 t + 3$ .

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{3 t^{2} - 2 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{3 t^{2} - 2 (t) - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $3$ plus $- 5$

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{3 t^{2} + (3 - 5) t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{3 t^{2} + 3 t - 5 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(3 t^{2} + 3 t) - 5 t - 5} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{3 t (t + 1) - 5 (t + 1)} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $t + 1$ .

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 30 = - 90$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 t$ heraus.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{3 t^{2} + 13 (t) - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $13$ um als $- 5$ plus $18$

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{3 t^{2} + (- 5 + 18) t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{3 t^{2} - 5 t + 18 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{(3 t^{2} - 5 t) + 18 t - 30}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{t (3 t - 5) + 6 (3 t - 5)}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 t - 5$ .

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{t^{2} + 2 t - 24}$

Schritt 4

Faktorisiere $t^{2} + 2 t - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $2$ ist.

$- 4, 6$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(2 t + 3) (t - 4)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{(t - 4) (t + 6)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t - 4$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $t - 4$ aus $(2 t + 3) (t - 4)$ heraus.

$\frac{(t - 4) (2 t + 3)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{(t - 4) (t + 6)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t - 4) (2 t + 3)}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{(t - 4) (t + 6)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 t + 3}{(t + 1) (3 t - 5)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{t + 6}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 t - 5$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 t - 5$ aus $(t + 1) (3 t - 5)$ heraus.

$\frac{2 t + 3}{(3 t - 5) (t + 1)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{t + 6}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t + 3}{(3 t - 5) (t + 1)} \cdot \frac{(3 t - 5) (t + 6)}{t + 6}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 t + 3}{t + 1} \cdot \frac{t + 6}{t + 6}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{2 t + 3}{t + 1}$ mit $\frac{t + 6}{t + 6}$ .

$\frac{(2 t + 3) (t + 6)}{(t + 1) (t + 6)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 6$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 t + 3) (t + 6)}{(t + 1) (t + 6)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 t + 3}{t + 1}$