Grundlegende Mathematik Beispiele

\frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 4

$\frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 4$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Schritt 2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{64^{3}}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{64^{3}}} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere

64

$64$ mit

3

$3$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{262144}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{262144}} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe

\sqrt[6]{\frac{1}{262144}}

$\sqrt[6]{\frac{1}{262144}}$ als

\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}}

$\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}}$ um.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.4

Jede Wurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1.5.1

Schreibe

262144

$262144$ als

8^{6}

$8^{6}$ um.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{8^{6}}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{8^{6}}} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.2.1.6.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

8

$8$ heraus.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 (4)} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 (4)} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

4

$4$ .

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Schritt 2.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}^{3} = 1^{3}

${\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}^{3} = 1^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}$ als

16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}}

$16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}}$ neu zu schreiben.

{(16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

{(16^{\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 4.3

Multipliziere

\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

\frac{z}{2}

$\frac{z}{2}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

{(16^{\frac{z}{2 \cdot 3}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{2 \cdot 3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

{(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}$

{(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere die Exponenten in

{(16^{\frac{z}{6}})}^{3}

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3}$ .

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Schritt 4.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

16^{\frac{z}{6} \cdot 3} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{6} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 4.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

6

$6$ heraus.

16^{\frac{z}{3 (2)} \cdot 3} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{3 (2)} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 4.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

16^{\frac{z}{3 \cdot 2} \cdot 3} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{3 \cdot 2} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 4.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

16^{\frac{z}{2}} = 1

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

16^{\frac{z}{2}} = 1

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

16^{\frac{z}{2}} = 1

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

Schritt 5

Löse nach

z

$z$ auf.

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Schritt 5.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

ln (16^{\frac{z}{2}}) = ln (1)

$\ln (16^{\frac{z}{2}}) = \ln (1)$

Schritt 5.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.2.1

Zerlege

ln (16^{\frac{z}{2}})

$\ln (16^{\frac{z}{2}})$ durch Herausziehen von

\frac{z}{2}

$\frac{z}{2}$ aus dem Logarithmus.

\frac{z}{2} ln (16) = ln (1)

$\frac{z}{2} \ln (16) = \ln (1)$

Schritt 5.2.2

Kombiniere

\frac{z}{2}

$\frac{z}{2}$ und

ln (16)

$\ln (16)$ .

\frac{z ln (16)}{2} = ln (1)

$\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)$

\frac{z ln (16)}{2} = ln (1)

$\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der natürliche Logarithmus von

1

$1$ ist

0

$0$ .

\frac{z ln (16)}{2} = 0

$\frac{z \ln (16)}{2} = 0$

\frac{z ln (16)}{2} = 0

$\frac{z \ln (16)}{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze den Zähler gleich Null.

z ln (16) = 0

$z \ln (16) = 0$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in

z ln (16) = 0

$z \ln (16) = 0$ durch

ln (16)

$\ln (16)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in

z ln (16) = 0

$z \ln (16) = 0$ durch

ln (16)

$\ln (16)$ .

\frac{z ln (16)}{ln (16)} = \frac{0}{ln (16)}

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

ln (16)

$\ln (16)$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{z ln (16)}{ln (16)} = \frac{0}{ln (16)}

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere

z

$z$ durch

1

$1$ .

$z = \frac{0}{\ln (16)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Schreibe

$\ln (16)$ als

$\ln (2^{4})$ um.

$z = \frac{0}{\ln (2^{4})}$

Schritt 5.5.3.2

Zerlege

$\ln (2^{4})$ durch Herausziehen von

$4$ aus dem Logarithmus.

$z = \frac{0}{4 \ln (2)}$

Schritt 5.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$0$ und

$4$ .

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Schritt 5.5.3.3.1

Faktorisiere

$4$ aus

$0$ heraus.

$z = \frac{4 (0)}{4 \ln (2)}$

Schritt 5.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Faktorisiere

$4$ aus

$4 \ln (2)$ heraus.

$z = \frac{4 (0)}{4 (\ln (2))}$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{4 \cdot 0}{4 \ln (2)}$

Schritt 5.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 5.5.3.4

Dividiere

$0$ durch

$\ln (2)$ .

$z = 0$