Grundlegende Mathematik Beispiele

$({(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}) = \frac{125}{27}$

Schritt 1

Vereinfache ${(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}$ .

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\frac{3^{z}}{5^{z}} {(\frac{5}{3})}^{2 z} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$\frac{3^{z}}{5^{z}} \cdot \frac{5^{2 z}}{3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{3^{z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{z}$ und $3^{2 z}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $3^{2 z}$ aus $3^{z} \cdot 5^{2 z}$ heraus.

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $3^{2 z}$ aus $5^{z} \cdot 3^{2 z}$ heraus.

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5^{2 z}$ und $5^{z}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $5^{z}$ aus $3^{- z} \cdot 5^{2 z}$ heraus.

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{z}}{1} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.4.2.4

Dividiere $3^{- z} \cdot 5^{z}$ durch $1$ .

$3^{- z} \cdot 5^{z} = \frac{125}{27}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{- z} \cdot 5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (3^{- z} \cdot 5^{z})$ als $\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z})$ um.

$\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (3^{- z})$ durch Herausziehen von $- z$ aus dem Logarithmus.

$- z \ln (3) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (5^{z})$ durch Herausziehen von $z$ aus dem Logarithmus.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- z \ln (3) + z \ln (5) - \ln (\frac{125}{27}) = 0$

Schritt 5

Addiere $\ln (\frac{125}{27})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 6

Faktorisiere $z$ aus $- z \ln (3) + z \ln (5)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $z$ aus $- z \ln (3)$ heraus.

$z (- 1 \ln (3)) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 6.2

Faktorisiere $z$ aus $z \ln (5)$ heraus.

$z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 6.3

Faktorisiere $z$ aus $z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5))$ heraus.

$z (- 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 7

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ durch $- \ln (3) + \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ durch $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (3) + \ln (5)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3)$ heraus.

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (5)$ heraus.

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) - 1 (- \ln (5))}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3) - 1 (- \ln (5))$ heraus.

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- (\ln (3) - \ln (5))}$

Schritt 8.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 8.3.4.1

Schreibe $- (\ln (3) - \ln (5))$ als $- 1 (\ln (3) - \ln (5))$ um.

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- 1 (\ln (3) - \ln (5))}$

Schritt 8.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$z = 3$