Grundlegende Mathematik Beispiele

$16 = 3 (z - 1) (z - 7)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ um.

$3 (z - 1) (z - 7) = 16$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ durch $3$ .

$\frac{3 (z - 1) (z - 7)}{3} = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (z - 1) (z - 7)}{3} = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $(z - 1) (z - 7)$ durch $1$ .

$(z - 1) (z - 7) = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(z - 1) (z - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z (z - 7) - 1 (z - 7) = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$z \cdot z + z \cdot - 7 - 1 (z - 7) = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z \cdot z + z \cdot - 7 - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$z^{2} + z \cdot - 7 - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $z$ .

$z^{2} - 7 \cdot z - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.3.1.3

Schreibe $- 1 z$ als $- z$ um.

$z^{2} - 7 z - z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$z^{2} - 7 z - z + 7 = \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $z$ von $- 7 z$ .

$z^{2} - 8 z + 7 = \frac{16}{3}$

Schritt 3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{16}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{2} - 8 z + 7 - \frac{16}{3} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache $z^{2} - 8 z + 7 - \frac{16}{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} - 8 z + 7 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{7 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z^{2} - 8 z + \frac{7 \cdot 3 - 16}{3} = 0$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{21 - 16}{3} = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $16$ von $21$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{5}{3} = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $3$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 z^{2} + 3 (- 8 z) + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$3 z^{2} - 24 z + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 z^{2} - 24 z + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 z^{2} - 24 z + 5 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 24$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $60$ von $576$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{516}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $516$ als $2^{2} \cdot 129$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $516$ heraus.

$z = \frac{24 \pm \sqrt{4 (129)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 129}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$z = \frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{6}$ .

$z = \frac{12 \pm \sqrt{129}}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{12 + \sqrt{129}}{3}, \frac{12 - \sqrt{129}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = \frac{12 + \sqrt{129}}{3}, \frac{12 - \sqrt{129}}{3}$

Dezimalform:

$z = 7.78593889 \dots, 0.21406110 \dots$