Grundlegende Mathematik Beispiele

$12 z^{\frac{2}{5}} + 7 z^{\frac{1}{5}} = - 1$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $z^{\frac{1}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$12 {(z^{\frac{1}{5}})}^{2} + 7 z^{\frac{1}{5}} + 1$

Schritt 2

Ersetze $z^{\frac{1}{5}}$ durch $u$ .

$12 {(u)}^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere $7$ mit $u$ .

$12 u^{2} + 7 u + 1 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot 1 = 12$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u$ heraus.

$12 u^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $7$ um als $3$ plus $4$

$12 u^{2} + (3 + 4) u + 1 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 u^{2} + 3 u + 4 u + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(12 u^{2} + 3 u) + 4 u + 1 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $4 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $4 u + 1$ gleich $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $4 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Setze $3 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $3 u + 1$ gleich $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $3 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $z$ .

$z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Löse nach $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}$ auf für $z$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{1} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$z = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{4})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{4})}^{5}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Schritt 5.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z = - \frac{1}{4^{5}}$

Schritt 5.2.2.1.4

Potenziere $4$ mit $5$ .

$z = - \frac{1}{1024}$

Schritt 6

Löse nach $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{3}$ auf für $z$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$z = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{3})}^{5}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z = - \frac{1}{3^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$z = - \frac{1}{243}$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Dezimalform:

$z = - 0.00097656 \dots, - 0.00411522 \dots$