Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}) (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (\frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n})$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}$ mit $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Um $\frac{m}{n}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{n}{m}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $n m$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{m}{n}$ mit $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{n}{m}$ mit $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $n m$ um.

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 m n \frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.5.2

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 m n \frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.5.5

Schreibe $n \cdot n$ als $n^{2}$ um.

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n^{2}}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = m$ und $b = n$ .

$\frac{2 m n \frac{(m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ .

$\frac{m n \frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $m$ und $\frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}$ .

$\frac{n \frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $n$ und $\frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}$ .

$\frac{\frac{n (m (2 ((m + n) (m - n))))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.7

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck $\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(m \cdot 2 (m + n)) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.9.2

Dividiere $(2 (m + n)) (m - n)$ durch $1$ .

$\frac{(2 (m + n)) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 m + 2 n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.11

Multipliziere $(2 m + 2 n) (m - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 m (m - n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.1.1

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.1.1.1

Bewege $m$ .

$\frac{2 (m \cdot m) + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.1.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$\frac{2 m^{2} + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 m^{2} + 2 \cdot - 1 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n \cdot n}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.5

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.1.5.1

Bewege $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 (n \cdot n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.2

Addiere $- 2 m n$ und $2 n m$ .

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Schritt 2.12.2.1

Bewege $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 m n - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.2.2

Addiere $- 2 m n$ und $2 m n$ .

$\frac{2 m^{2} + 0 - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.12.3

Addiere $2 m^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.13

Faktorisiere $2$ aus $2 m^{2} - 2 n^{2}$ heraus.

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 m^{2}$ heraus.

$\frac{2 (m^{2}) - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 n^{2}$ heraus.

$\frac{2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.13.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})$ heraus.

$\frac{2 (m^{2} - n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 2.14

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = m$ und $b = n$ .

$\frac{2 (m + n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m + n$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $m + n$ aus $2 (m + n) (m - n)$ heraus.

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (m - n)}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $m - n$ und ${(m - n)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $m - n$ aus $2 (m - n)$ heraus.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $m - n$ aus ${(m - n)}^{2}$ heraus.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{m - n} (m^{2} + m n + n^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{m - n}$ mit $m^{2} + m n + n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2} + m n + n^{2})}{m - n}$